関数$\displaystyle y=-2 \sin \theta \cos \theta+2a(\sin \theta+\cos \theta)-a \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最大値$M(a)$を求めよ．
(4)$M(a)$の最小値を求めよ．

$a$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-a \cos x}{1+\sin x} (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{-\cos x}{1+\sin x} (0<x<\pi)$とおくとき，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2)$f(x)$が$0<x<\pi$の範囲で極値をもつように$a$の値の範囲を定めよ．また，その極値を$a$で表せ．
(3)$a$が$(2)$で定めた範囲にあるとき，$2$点$(0,\ f(0))$，$(\pi,\ f(\pi))$を通る直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれる図形を$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積を$a$で表せ．

$a,\ b$は定数とする．関数$f(x)=e^{-x} \sin x$，$g(x)=e^{-x} (a \cos x+b \sin x)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して$\displaystyle \frac{d}{dx}g(x)=f(x)$となるように$a,\ b$の値を定めよ．
(2)$(2k-1) \pi \leqq x \leqq 2k \pi (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_k$を$k$の式で表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+x+x^2}$

(ii) $y=(x^2+2x)e^{-x}$

(2)次の不定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int x^2 \log x \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos^2 x+2 \sin x-2} \, dx$

(3)$x>0$とする．無限等比級数
\[ 1+\log x+(\log x)^2+\cdots +(\log x)^n+\cdots \]
が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)次の式を因数分解すれば，
\[ 2x^2+3xy+y^2+x-y-6=([ア])([イ]) \]
となる．
(2)$\mathrm{MIYAGIDAI}$のすべての文字を並べてできる順列のうち，$5$個の母音が隣り合わない場合は$[ウ]$通りある．
(3)$i$を虚数単位とするとき，
$(1+i)^2=[エ]i$であり，$(1+i)^{10}=[オ]i$である．すると，
$(1+i)^{2014}+(1-i)^{2014}=[カ]$となる．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=[キ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$について，以下の設問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．

平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$，$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする．ただし，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする．以下の設問$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\cos \alpha$の値を求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ．
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ．

$a$を正の実数とする．放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$をとる．$y_1>0$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha>0$として，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \]
とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については
\[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \]
と解釈する（$a>s>0$）．

次の各問いに答えよ．

(1)関数$\tan x$の導関数を求めよ．

(2)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．

(3)$\displaystyle X=\cos \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$1+\sin x$を$X$を用いて表せ．

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}$を求めよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin x} \, dx$の値を求めよ．