$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$，直線$\mathrm{OA}$，直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする）に対して，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．いま，
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2)$P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3)$A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4)$A^n=\alpha^n P+\beta^n Q (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

$t$は$0<t<1$を満たす実数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$3$つの曲線$C_1:y=\sin x$，$C_2:y=\cos x$，$C_3:y=t \cos x$を考える．

(1)$y$軸と$C_1$，$C_3$で囲まれる部分の面積$S_1$を$t$で表せ．
(2)$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれる部分の面積を$S_2$とおく．$S_1=S_2$となる$t$とそのときの$S_1$の値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減表をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) \sin x \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle y=a \frac{x^2+1}{x^4+4}+\frac{x^4+4}{x^2+1}$のグラフが$x$軸と共有点をもつような定数$a$の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=2x+\frac{10}{x}-\log x$に対して$a_n=f(n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．
(2)$a_n$が最小となる$n$を求めよ．

一般項が$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問に答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_n<\frac{1}{10}$となる$n$の最小値を求めなさい．

$1$辺の長さが$a_1$の正五角形を$\mathrm{P}_1$とする．$\mathrm{P}_1$の対角線を$1$辺とする正五角形を$\mathrm{P}_2$とし，$\mathrm{P}_2$の対角線を$1$辺とする正五角形を$\mathrm{P}_3$とする．このように対角線から次の正五角形を繰り返してつくるものとする．このとき，$n>1$における$\mathrm{P}_n$の$1$辺の長さを$a_n$とし，以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を$a_1$と$n$を用いて表せ．
(2)整数の数列$\{x_n\}$と$\{y_n\}$を用いて
\[ a_n=\frac{x_n+\sqrt{5}y_n}{2} \]
と書けるとする．このとき，$x_{n+2}$を$x_n$と$x_{n+1}$を用いて表せ．

$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を空間のベクトルとし，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$に平行な平面$\alpha$がある．点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その足を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$のうち，必要なものを用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{3}$となるように点$\mathrm{P}$が動くとする．このとき，$x,\ y$から定まる点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡を求め，その概形をかけ．

座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．