整式$P(x)$を$x^2+2x+1$で割った余りが$2x-4$で，$x^2-3x+2$で割った余りが$2x+2$であるとする．以下の問に答えよ．

(1)$P(x)$を$x^2-1$で割ると，余りは，$[チ]x-[ツ]$となる．
(2)$P(x)$を$x^2-x-2$で割ると，余りは，$[テ]x-[ト]$となる．

(3)$P(x)$を$x^3+x^2-x-1$で割ると，余りは，$\displaystyle \frac{[ナ]}{2}x^2+[ニ]x-\frac{[ヌ]}{2}$となる．

半径$R$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$，$\mathrm{BH}=3$，$\mathrm{CH}=2$のとき，以下の値を求めよ．

(1)$\displaystyle \tan \angle \mathrm{BAH}=\frac{[ネ]}{[ノ]}$

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAH}=\frac{[ハ] \sqrt{[ヒフ]}}{[ヘホ]}$

(3)$\displaystyle R=\frac{[マ] \sqrt{[ミ]}}{[ム]}$

直角三角形$\mathrm{ABC}$において$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とする．$\mathrm{BC}=3 \sqrt{2}$，$\angle \mathrm{BCA}={90}^\circ$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円$\mathrm{O}$がある．円$\mathrm{O}$と$\mathrm{BC}$との接点を$\mathrm{H}$，円$\mathrm{O}$と$\mathrm{AC}$との接点を$\mathrm{I}$とする．$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=5$のとき，以下の問に答えよ．

(1)円$\mathrm{O}$の半径は，$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[フヘ]}$である．
(2)円$\mathrm{O}$の中心と$\mathrm{B}$との距離は，$\displaystyle \frac{[ホマ] \sqrt{[ミム]}}{[フヘ]}$である．
(3)$\mathrm{AI}=[メ]$である．

両面が赤色のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が青のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が黄色のカードが$4$枚ある．この$10$枚のカードを袋に入れ，無作為に$1$枚を取り出しテーブルの上に置いたとき，以下の問に答えよ．ただし，カードをテーブルの上に置いたとき，見えている面をカードの表とする．


(1)カードの表が赤である確率は，$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．

(2)カードの表が赤であるとき，裏も赤である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．

(3)カードの表が赤であるとき，裏が黄色でない確率は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]}$である．

次を計算しなさい．

(1)$\displaystyle \left( \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=[ア]$である．

(2)$\displaystyle \log_3 \sqrt{6}-\frac{1}{2} \log_3 \frac{1}{5}-\frac{3}{2} \log_3 \sqrt[3]{30}=[イ]$である．

(3)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$のとき$x^4-y^4=[ウ]$である．

次の不等式を解きなさい．
\[ |\abs{x|-|x+1|}<\frac{1}{2} \]

$2$人の力士$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が何回も相撲をとって先に$3$勝した方が優勝とする．ただし力士$\mathrm{A}$が勝つ確率は今までの結果から$\displaystyle \frac{2}{3}$とする．このとき力士$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めなさい．ここで引き分けはないとする．

$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき


(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{[アイ]}{[ウ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．

(3)$\displaystyle \sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{[キ]}{[ク]}$である．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=4$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{16}$とする．
\[ \mathrm{AC}=[ア],\quad \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[イ][ウ][エ]}}{[オ][カ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円$\mathrm{O}$の半径を$R$，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とすると，
\[ R=\frac{[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ][サ]}}{[シ][ス][セ]},\quad S=\frac{[ソ]}{[タ]} \sqrt{[チ][ツ][テ]} \]
である．また
\[ \cos \angle \mathrm{BAD}=\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]},\quad \mathrm{BD}=\sqrt{[ネノ]} \]
である．