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私立 西南学院大学 2014年 第2問正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．点$\mathrm{P}$は最初，頂点$\mathrm{A}$にあり，さいころを投げるたびに出た目の数だけ正五角形の頂点を反時計まわりに移動する．このとき，
(1)さいころを$1$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(3)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が初めて頂点$\mathrm{A}$に止まる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(1)さいころを$1$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(3)さいころを$3$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が初めて頂点$\mathrm{A}$に止まる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
私立 西南学院大学 2014年 第3問$x$座標，$y$座標がともに整数である点（格子点）に対し，座標$(1,\ 0)$を番号$1$，座標$(2,\ 0)$を番号$2$，座標$(2,\ 1)$を番号$3$として，$x$座標が大きくなるにしたがい，図のように点を積み重ねていき，番号$4,\ 5,\ \cdots$と付けていく．このとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である．
(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である．
(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である．
（図は省略）
(1)座標$(30,\ 29)$の番号は$[タチツ]$である．
(2)座標$(n,\ 0)$の番号は$\displaystyle \frac{n^2+[テト]n+[ナ]}{2}$である．
(3)番号が$98$となる座標は$([ニヌ],\ [ネ])$である．
私立 西南学院大学 2014年 第1問$x$を実数とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$3^x+3^{-x}$のとりうる値の範囲は，$3^x+3^{-x} \geqq [ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{10}{3}(3^x+3^{-x})-(9^x+9^{-x})-\frac{4}{3}$の最大値は，$x=[イ]$のとき，$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
(1)$3^x+3^{-x}$のとりうる値の範囲は，$3^x+3^{-x} \geqq [ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{10}{3}(3^x+3^{-x})-(9^x+9^{-x})-\frac{4}{3}$の最大値は，$x=[イ]$のとき，$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
私立 西南学院大学 2014年 第2問$y=-x^2$で表される放物線を$G$とし，$y=-x+1$で表される直線を$\ell$とする．
$G$上の点と$\ell$上の点との距離が最小となるときの
$G$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$となり，
$\ell$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$となる．
また，そのときの$G$上の点と$\ell$上の点との距離は$\displaystyle \frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$となる．
$G$上の点と$\ell$上の点との距離が最小となるときの
$G$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$となり，
$\ell$上の点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$となる．
また，そのときの$G$上の点と$\ell$上の点との距離は$\displaystyle \frac{[コ] \sqrt{[サ]}}{[シ]}$となる．
私立 西南学院大学 2014年 第3問点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，$x^2+y^2=1$，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たすものとする．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)$x=\cos \theta,\ y=\sin \theta$とおくと，
\[ x^2-y^2+2 \sqrt{3} xy=[ソ] \sin \left( [タ] \theta+\frac{\pi}{[チ]} \right) \]
である．
(3)$x^2-y^2+2 \sqrt{3}xy$の最大値は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$のとき$[ト]$である．
私立 北海道医療大学 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
私立 北海道医療大学 2014年 第2問以下の問に答えよ．
(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．
\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．
(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．
\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．
(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．
私立 北海道医療大学 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
私立 北海道医療大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=l$，$\angle \mathrm{BAC}={108}^\circ$である．ただし，$l$は正の定数とする．この三角形の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$となるようにとり，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
私立 西南学院大学 2014年 第4問以下の問に答えよ．
(1)直線$y=5x$と$y=ax$が${45}^\circ$で交わるとき，$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$または$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$である．
(2)$x^2-6x+4=0$の$2$つの解が$\tan \alpha$と$\tan \beta$のとき，$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{[ハヒ] \sqrt{[フ]}}{[ヘ]}$である．
(3)$-\pi \leqq x \leqq \pi$とする．$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2}+x \right)-\sin x$は，$\displaystyle x=\frac{[ホ] \pi}{[マ]}$のとき，最大値$\sqrt{[ミ]}$をとる．
(1)直線$y=5x$と$y=ax$が${45}^\circ$で交わるとき，$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$または$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$である．
(2)$x^2-6x+4=0$の$2$つの解が$\tan \alpha$と$\tan \beta$のとき，$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{[ハヒ] \sqrt{[フ]}}{[ヘ]}$である．
(3)$-\pi \leqq x \leqq \pi$とする．$\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{2}+x \right)-\sin x$は，$\displaystyle x=\frac{[ホ] \pi}{[マ]}$のとき，最大値$\sqrt{[ミ]}$をとる．