次の定理について以下の問いに答えなさい．


\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]


(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．

関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

次の定理について以下の問いに答えなさい．


\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]


(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の$[　]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(4)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(5)$y=xe^{-x}$を微分しなさい．

(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を求めなさい．

関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．

$f(x)=x^2-4$，$g(x)=x(x^2-1)$とし，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+y^2 \leqq 8 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(x)g(x) \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)$f(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$xy$平面上に領域$D$を図示せよ．
(5)領域$D$の面積を求めよ．
(6)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値を求めよ．最大値と最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標も答えること．

$i$を虚数単位として，$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$とするとき，以下の式を完成させよ．


(1)$\displaystyle z=\frac{[ア]}{[イ]}-\frac{[ウ]}{[イ]}i$

(2)$\displaystyle \frac{1}{z}=-\frac{[エ]}{[オ]}z+\frac{[カ]}{[オ]}$

(3)$\displaystyle z^4=-[キ]z+\frac{[クケ]}{[コ]}$

曲線$C_1:y=x^3-3x$と，$C_1$を$x$軸方向に$2$だけ平行移動して得られる曲線$C_2$との交点の$x$座標は，$\displaystyle \frac{[ホ] \pm \sqrt{[マ]}}{[ミ]}$である．

$\displaystyle \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx=\frac{[ムメ]}{[モ]}(b-a)^3$を利用すると，$C_1$と$C_2$で囲まれる面積は，$\displaystyle \frac{[ヤユ] \sqrt{[ヨ]}}{[ラ]}$である．

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$のとき，以下の式を完成させよ．

(1)$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$

(2)$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ] \sqrt{[ウ]}$

(3)$\displaystyle x^5+\frac{1}{x^5}=[エ] \sqrt{[オ]}$