実数$t$に対して$\displaystyle f(t)=\frac{t+|t|}{2}$とおく．このとき座標平面において不等式
\[ \frac{1}{4}x^2-1 \leqq y \leqq f(2-x^2) \]
が表す領域を図示し，その面積を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1}-\frac{1}{3}$として$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．

(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．

$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$\displaystyle \tan 2\alpha=\frac{1}{2}$かつ$\tan \alpha>0$のとき，$\tan \alpha=[ア]$であり，また$\tan 3\alpha=[イ]$である．
(2)$r>0$に対し，中心$(-2,\ 7)$，半径$r^2+3r+4$の円$C_1$と中心$(3,\ -5)$，半径$2r^2+7r+1$の円$C_2$を考える．$C_1$と$C_2$がちょうど$3$本の共通接線をもつとき$r=[ウ]$であり，$C_1$と$C_2$が平行な共通接線をもつとき$r=[エ]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=a$とする（$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある定数とし，$a$は正の実数とする）．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r$とする．次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AC}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$r$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$r$が最小となるとき，$a$を$\theta$を用いて表せ．また，そのときの$r$の値を求めよ．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．

$a \geqq 0$とし
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．

次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．

(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．

(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．