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私立 北里大学 2014年 第3問次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．
曲線$C$を$y=x^2-6x+13$とし，曲線$C$の接線で点$(p,\ 0)$を通るものを考える．接点の$x$座標を$\alpha$とすると，接線の傾きは$[ア] \alpha+[イ]$，接点の座標は$(\alpha,\ [ウ] \alpha^2+[エ] \alpha+[オ][カ])$であるから，接線の方程式は，
\[ y=([ア] \alpha+[イ])x+[キ] \alpha^2+[ク] \alpha+[ケ][コ] \]
と表される．この直線が点$(p,\ 0)$を通ることから$\alpha$は次の$2$次方程式
\[ \alpha^2+[サ]p \alpha+[シ]p+[ス][セ]=0 \]
を満たす．この方程式は$2$つの解を持つから接線は$2$本存在し，傾きが正である接線の方程式は，
\[ y=[ソ] \left( p+[タ]+\sqrt{p^2+[チ]p+[ツ][テ]} \right) (x+[ト]p) \]
と表される．
任意の$x$における曲線$C$の$y$座標と接線の$y$座標の差は，両者が$x=\alpha$で接しているので，
\[ (x-\alpha)^2 \]
と書ける．これを用いると，曲線$C$と$2$本の接線で囲まれた部分の面積$S$は，
\[ S=\frac{[ナ]}{[ニ]} \left( p^2+[チ]p+[ツ][テ] \right)^{\frac{[ヌ]}{[ネ]}} \]
である．$p$を変化させるとき，$S$は$p=[ノ]$で最小値$\displaystyle \frac{[ハ][ヒ]}{[フ]}$をとる．
私立 北海学園大学 2014年 第2問$n$を$1$以上の整数とする．$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には白玉が$n$個，赤玉が$2$個入っており，袋$\mathrm{B}$には白玉が$n$個，赤玉が$3$個入っている．このとき，それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出す．
(1)$2$個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が$1$個ずつである確率$P_n$を求めよ．また，$P_n=P_{n+1}$となる$n$の値と，そのときの$P_n$を求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が$\displaystyle \frac{11}{10}$になるとき，$n$の値を求めよ．
(1)$2$個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が$1$個ずつである確率$P_n$を求めよ．また，$P_n=P_{n+1}$となる$n$の値と，そのときの$P_n$を求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が$\displaystyle \frac{11}{10}$になるとき，$n$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第5問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_7=20,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}, \]
数列$\{b_n\}$は，
\[ b_1=1,\quad b_2=9,\quad b_{n+2}-2a_{n+2}=b_{n+1}+2a_n \]
を満たす．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$b_{n+2}-b_{n+1}$を$a_{n+1}$で表せ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{c_k\}$は$\displaystyle c_k={a_k}^2-\frac{3}{2}b_k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす数列とし，$S_n$を$\{c_k\}$の初項から第$n$項までの和とする．$S_{100}$を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_7=20,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+2}}{2}, \]
数列$\{b_n\}$は，
\[ b_1=1,\quad b_2=9,\quad b_{n+2}-2a_{n+2}=b_{n+1}+2a_n \]
を満たす．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$b_{n+2}-b_{n+1}$を$a_{n+1}$で表せ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{c_k\}$は$\displaystyle c_k={a_k}^2-\frac{3}{2}b_k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす数列とし，$S_n$を$\{c_k\}$の初項から第$n$項までの和とする．$S_{100}$を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第3問$n$を$1$以上の整数とする．$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には白玉が$n$個，赤玉が$2$個入っており，袋$\mathrm{B}$には白玉が$n$個，赤玉が$3$個入っている．このとき，それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出す．
(1)$2$個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が$1$個ずつである確率$P_n$を求めよ．また，$P_n=P_{n+1}$となる$n$の値と，そのときの$P_n$を求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が$\displaystyle \frac{11}{10}$になるとき，$n$の値を求めよ．
(1)$2$個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が$1$個ずつである確率$P_n$を求めよ．また，$P_n=P_{n+1}$となる$n$の値と，そのときの$P_n$を求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が$\displaystyle \frac{11}{10}$になるとき，$n$の値を求めよ．
私立 九州産業大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．
(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．
(1)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)^3+\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^3=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)関数$y=-3x^2+6x (0 \leqq x \leqq 3)$の最大値は$[ウ]$で，最小値は$[エオ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2-3x+3=0$の解は$\displaystyle x=\frac{[カ] \pm \sqrt{[キ]}i}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} (0 \leqq \theta \leqq {90}^\circ)$のとき
(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(5)正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺に赤，青，黄，緑のいずれかの色を塗る．ただし，同じ色を$2$度以上使ってもよいものとする．
(i) 辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$が赤色になる塗り方は$[シス]$通りある．
(ii) $3$つの辺が赤色で，残りの$1$つの辺は赤色以外になる塗り方は$[セソ]$通りある．
(iii) 向かい合う辺は同じ色であるが，すべての辺が同じ色とはなっていない塗り方は$[タチ]$通りある．
私立 九州産業大学 2014年 第3問放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とする．放物線$C$と$x$軸との交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell$とする．
(1)放物線$C$の頂点の座標は$([ア],\ [イウ])$である．
(2)点$\mathrm{P}$の座標は$([エ],\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標は$([オ],\ 0)$である．
(3)接線$\ell$の方程式は$y=[カ]x-[キ]$である．
(4)放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)直線$y=-2x+k$が放物線$C$に接するとき，$k=[コ]$であり，この直線と接線$\ell$，および放物線$C$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(1)放物線$C$の頂点の座標は$([ア],\ [イウ])$である．
(2)点$\mathrm{P}$の座標は$([エ],\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標は$([オ],\ 0)$である．
(3)接線$\ell$の方程式は$y=[カ]x-[キ]$である．
(4)放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)直線$y=-2x+k$が放物線$C$に接するとき，$k=[コ]$であり，この直線と接線$\ell$，および放物線$C$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
私立 北海学園大学 2014年 第4問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{2},\quad a_2=\frac{1}{3},\quad a_{n+2}=\frac{a_na_{n+1}}{2a_n-a_{n+1}+2a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\displaystyle \frac{1}{a_n}=b_n$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_{n+2}$を$b_{n+1}$と$b_n$を用いて表せ．
(2)$c_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=\frac{1}{2},\quad a_2=\frac{1}{3},\quad a_{n+2}=\frac{a_na_{n+1}}{2a_n-a_{n+1}+2a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\displaystyle \frac{1}{a_n}=b_n$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_{n+2}$を$b_{n+1}$と$b_n$を用いて表せ．
(2)$c_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第1問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{BC}=3$，$\angle \mathrm{BCA}=\theta$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第3問$a$を負の定数とし，放物線$y=a(x+1)(x-3)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ -3a)$における$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAP}$の面積が$\displaystyle \frac{7}{4}$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}$，$y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．