「分数」について
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(2ページ目:全4648問中11問~20問を表示)![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
次の問いに答えよ.
(1)$a$を正の実数とし,$k$を$1$以上の実数とする.$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は,不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ.
(2)$a$を$3$以上の整数とする.$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ.
(1)$a$を正の実数とし,$k$を$1$以上の実数とする.$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は,不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ.
(2)$a$を$3$以上の整数とする.$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
曲線$\displaystyle C:y=|\displaystyle\frac{1|{2}x^2-6}-2x$を考える.
(1)$C$と直線$L:y=-x+t$が異なる$4$点で交わるような$t$の値の範囲を求めよ.
(2)$C$と$L$が異なる$4$点で交わるとし,その交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$とするとき,
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{P|_1 \mathrm{P}_2}}+|\overrightarrow{\mathrm{P|_3 \mathrm{P}_4}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P|_2 \mathrm{P}_3}}}=4 \]
となるような$t$の値を求めよ.
(3)$t$が$(2)$の値をとるとき,$C$と線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$で囲まれる図形の面積を求めよ.
(1)$C$と直線$L:y=-x+t$が異なる$4$点で交わるような$t$の値の範囲を求めよ.
(2)$C$と$L$が異なる$4$点で交わるとし,その交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$とするとき,
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{P|_1 \mathrm{P}_2}}+|\overrightarrow{\mathrm{P|_3 \mathrm{P}_4}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P|_2 \mathrm{P}_3}}}=4 \]
となるような$t$の値を求めよ.
(3)$t$が$(2)$の値をとるとき,$C$と線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$で囲まれる図形の面積を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し,関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件(ア),(イ),(ウ)で定める.
(ア) $f_1(x)=\sin (\pi x)$
(イ) $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(ウ) $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ.
(1)$a=2,\ b=3$のとき,$f_5(0)$を求めよ.
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とするとき,$f_6(0)=0$となる確率を求めよ.
(ア) $f_1(x)=\sin (\pi x)$
(イ) $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(ウ) $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ.
(1)$a=2,\ b=3$のとき,$f_5(0)$を求めよ.
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とするとき,$f_6(0)=0$となる確率を求めよ.
![神戸大学](./img/univ/kobe.png)
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ.また,その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ.
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ.また,その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ.
![神戸大学](./img/univ/kobe.png)
極方程式で表された$xy$平面上の曲線$r=1+\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$を$C$とする.以下の問に答えよ.
(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき,$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点,および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ.
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ.
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ.
(4)曲線$C$の長さを求めよ.
(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき,$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点,および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ.
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ.
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ.
(4)曲線$C$の長さを求めよ.
![大分大学](./img/univ/oita.png)
大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする.
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$,$\theta$を用いて表しなさい.
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる.$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい.
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$,$\theta$を用いて表しなさい.
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる.$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい.
![大分大学](./img/univ/oita.png)
$a$を$0$でない実数とする.$2$つの放物線$y=x^2$,$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある.
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい.
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき,$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい.
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい.
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい.
(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい.
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき,$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい.
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい.
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい.
![大分大学](./img/univ/oita.png)
$2$つの曲線$\displaystyle y=x+2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$と$\displaystyle y=x-2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$をつないでできる曲線を$C$とする.
(1)曲線$C$の概形を図示しなさい.
(2)$k$を実数とする.曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい.
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい.
(1)曲線$C$の概形を図示しなさい.
(2)$k$を実数とする.曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい.
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい.
![北海道大学](./img/univ/hokkaido.png)
$a>0$に対し,関数$f(x)$が
\[ f(x)=\int_{-a}^a \left\{ \frac{e^{-x}}{2a}+f(t) \sin t \right\} \, dt \]
をみたすとする.
(1)$f(x)$を求めよ.
(2)$0<a \leqq 2 \pi$において,
\[ g(a)=\int_{-a}^a f(t) \sin t \, dt \]
の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
\[ f(x)=\int_{-a}^a \left\{ \frac{e^{-x}}{2a}+f(t) \sin t \right\} \, dt \]
をみたすとする.
(1)$f(x)$を求めよ.
(2)$0<a \leqq 2 \pi$において,
\[ g(a)=\int_{-a}^a f(t) \sin t \, dt \]
の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
![北海道大学](./img/univ/hokkaido.png)
次の問いに答えよ.
(1)次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ.
\[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad ① \]
(2)方程式$①$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.このとき,
\[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ.
(1)次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ.
\[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad ① \]
(2)方程式$①$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.このとき,
\[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ.
(3)$(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ.