次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき，取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする．$X$が$3$以下となる場合の数は$[ア]$通りである．また，$X$が$4$以下となる場合の数は$[イ]$通りである．$X$が$3$となる場合の数は$[ウ]$通りであるので，$X$が$3$と等しくなる確率は$[エ]$である．したがって，$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して，$X$が$i$と等しくなる確率は$[オ]$であり，$X$の期待値は$[カ]$である．
次に，この袋から球を$1$個取り出し，取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき（$k$は自然数），取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする．$Y$が$j (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$[キ]$通りであり，$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$[ク]$通りである．したがって，$Y$が$j$と等しくなる確率は$[ケ]$であり，$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 [コ]$である．

曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり，点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0<\theta<\pi)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ．
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．また，$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ．

$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]

$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．

(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．

$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点

実数$x$に対し
\[ f(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquad g(x)=e^{3x}-e^{-3x} \]
で定義される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$および$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$で与えられる関数$h(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \frac{d}{dx}f(x)=[ア] g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=[イ] f(x) \]
という関係を満たす．また，関数$h(x)$に対して
\[ h(0)=[ウ], \lim_{x \to \infty} h(x)=[エ], \lim_{x \to -\infty} h(x)=[オカ], \frac{d}{dx}h(x)=\frac{[キク]}{(f(x))^2} \]
が成り立つ．
(2)$x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における，曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする．接線$C$と直線$y=[エ]$の交点の$x$座標を$b$とすると，$\displaystyle b-a=\frac{[ケ]}{[コサ]}$となる．

(3)$x \geqq a$の領域において，接線$C$，曲線$y=h(x)$，直線$y=[エ]$および直線$x=t (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると，
\[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{[シス]}{[セソ]}+\frac{1}{[タ]} \log_e \frac{[チ]}{[ツ]} \]
が成り立つ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し，さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると，$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し，点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった．このとき，$a=[ア]$，$b=[イ]$，$c=[ウ]$である．
(2)$6$個の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{N}$について，$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$[エ][オ][カ]$個であり，$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は，$[キ][ク][ケ]$個である．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$[シ]$である．
(4)$x$は実数とし，$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$t$の最小値は$[ス]$である．また，$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$[セ]$個である．
(5)$x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという．このとき，実数解は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$であり，虚数解は$[チ]+[ツ]i$である．ただし，$i$は虚数単位である．

$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=x^2-2x \cos \theta+\sin^2 \theta$について，以下の問に答えなさい．空欄には下の選択肢から選びその番号をマークしなさい．

(1)$f(x)$の最小値が$0$となるのは，$\theta=[テ],\ [ト]$のときである．ただし，$[テ]<[ト]$とする．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもたないとき，$\theta$の取りうる値の範囲は，$[ナ]<\theta<[ニ]$である．
(3)方程式$f(x)=0$の$2$つの解がともに負となるとき，$\theta$の取りうる値の範囲は$[ヌ] \leqq \theta<[ネ]$である．
\begin{screen}
選択肢： $\displaystyle \nagamarurei \ 0 \quad \nagamaruichi \ \frac{\pi}{6} \quad \nagamaruni \ \frac{\pi}{4} \quad \nagamarusan \ \frac{\pi}{3} \quad \nagamarushi \ \frac{\pi}{2} \quad \nagamarugo \ \frac{2\pi}{3} \quad \nagamaruroku \ \frac{3\pi}{4} \quad \nagamarushichi \ \frac{5\pi}{6} \quad \nagamaruhachi \ \pi$
\end{screen}

$x$の関数$y=x^2-2x$で表される曲線を$C$とする．また，定数$m$に対し$y=mx-m-2$で表される直線を$\ell$とする．以下の問に答えなさい．

(1)定数$m$によらず，$\ell$は定点$\mathrm{A}([ミ],\ [ム])$を通る．
(2)点$\mathrm{A}$から曲線$C$に$2$本の接線を引く．このとき，$2$つの接点の$x$座標は$[メ]$と$[モ]$である．ただし，$[メ]<[モ]$とする．
(3)点$\mathrm{A}$から引いた$2$本の接線と曲線$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．
(4)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4}{3}$となるのは，$m=\pm [ヨ] \sqrt{[ラ]}$のときである．

次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される．ここで，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，$b_1=[ア]$，$b_2=[イ]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は，
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる．初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は，
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は，
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される．
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける．つまり，第$1$群は$1$のみからなる．このとき，第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので，第$1$群から第$n-1$群までの項の数は，
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である．したがって，第$n$群の最初の項の値は，
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である．また，第$n$群に含まれる数の総和は，
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である．