「分数」について
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私立 早稲田大学 2014年 第2問$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$a_n=5^n \sin n\theta$とおく（$n=1,\ 2,\ \cdots$）．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．
私立 京都女子大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
私立 昭和大学 2014年 第2問平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$および直線$\ell:x+y=2$がある．直線$\ell$上に点$\mathrm{P}(t,\ -t+2)$をとる．次の各問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．このとき，常に$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$となることがわかっている．
$(1$-$1)$ $t=-2$のとき，$\tan \theta$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ $\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$を最大にする点$\mathrm{P}$の座標，およびそのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．このとき，常に$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$となることがわかっている．
$(1$-$1)$ $t=-2$のとき，$\tan \theta$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ $\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$を最大にする点$\mathrm{P}$の座標，およびそのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第3問数列$\{a_n\}$は$a_1=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}(a_n+2n)-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．
(2)さらに$\displaystyle c_n=b_n-\frac{2}{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$c_{n+1}$を$c_n$で表せ．
(3)数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．
(2)さらに$\displaystyle c_n=b_n-\frac{2}{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$c_{n+1}$を$c_n$で表せ．
(3)数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=\frac{2}{3}$，$\mathrm{BC}=10$とする．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点のうち$\mathrm{A}$と異なる方を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{BD}$を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=3 \sqrt{2}$のとき，$\mathrm{AD}$を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点のうち$\mathrm{A}$と異なる方を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{BD}$を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=3 \sqrt{2}$のとき，$\mathrm{AD}$を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第1問次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
私立 大同大学 2014年 第2問次の$[ノ]$から$[レ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$\mathrm{A}(-1,\ -2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角三角形のとき，点$\mathrm{C}$は円$x^2+y^2-[ノ]x-[ハ]y-[ヒ][フ]=0$上にある．さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標は$([ヘ],\ -[ホ])$または$(-[マ],\ [ミ])$である．
(2)$\sin x=t$とおくとき，$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=[ム] t^3-[メ] t-[モ]=(t-[ヤ])([ユ] t^2+[ヨ] t+[ラ])$である．
$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=0$のとき，$\displaystyle \sin x=\frac{-[リ]+\sqrt{[ル]}}{[レ]}$である．
(1)$\mathrm{A}(-1,\ -2)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$の直角三角形のとき，点$\mathrm{C}$は円$x^2+y^2-[ノ]x-[ハ]y-[ヒ][フ]=0$上にある．さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標は$([ヘ],\ -[ホ])$または$(-[マ],\ [ミ])$である．
(2)$\sin x=t$とおくとき，$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=[ム] t^3-[メ] t-[モ]=(t-[ヤ])([ユ] t^2+[ヨ] t+[ラ])$である．
$2 \sin 2x \cos x-(8+3 \cos 2x) \sin x-2=0$のとき，$\displaystyle \sin x=\frac{-[リ]+\sqrt{[ル]}}{[レ]}$である．