原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．

$2$次関数$y=x^2-1$のグラフ上の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と点$(1,\ 0)$で接する円$C$の方程式は，実数$t$を用いて
\[ (x+[ヌ]t+[ネ])^2+(y-t)^2=[ノ] t^2 \]
と表される．円$C$と放物線$y=x^2-1$の共有点の個数が$2$個となる$t$は小さい順に$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$と$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq - \ {\left( \log_{\frac{1}{3}} x \right)}^2+\displaystyle\frac{4}{\log_x 3} \quad \cdots (*) \\
y \geqq \log_3 x \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．

(1)$\log_3 x=t$とおくとき，不等式$(*)$を$t$と$y$で表すと，$y \leqq [サ]t^2+[シ]t$となる．
(2)領域$D$において，$y$のとりうる値の範囲を表す不等式は，次の$①$から$④$の中の$[ス]$の形であり，$a=[セ]$，$b=[ソ]$である．ただし，$[ス]$は$1$から$4$の数をマークして答えること．
\[ ① a \leqq y \leqq b \qquad ② a \leqq y<b \qquad ③ a<y \leqq b \qquad ④ a<y<b \]
(3)$x,\ y$がともに整数である点$(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x-y$の最大値は$[タ]$である．

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は，なす角が${60}^\circ$で，$|\overrightarrow{a}|=2 |\overrightarrow{b}|$である．$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$t$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a^x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}$の値は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)円$x^2+y^2-2x-4y-4=0$上の点$\mathrm{A}$と，円$x^2+y^2-12x-14y+81=0$上の点$\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の距離の最小値は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$6$枚のコインを同時に投げるとき，ちょうど$3$枚のコインが表になる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)定数$a,\ b$に対して，$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{x^2-b}{x-a}=6$が成り立つとする．このとき，$a=[($\mathrm{f])$}$，$b=[$(\mathrm{g])$}$である．

$\displaystyle a_1=-\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{3^n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=a_n+\frac{k}{3^n}$で定まる数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n$を満たすとき，定数$k$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$k$に対して，一般項$b_n$を求めよ．
(3)一般項$a_n$と$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．

$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[エ]$を適当に補え．

(1)放物線$y=4x^2-4x+8$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)方程式$2 \cdot 4^x+2^x-1=0$の解は，$x=[イ]$である．

(3)関数$f(x)=x^2$について，$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{f(3+h)-f(3)}=[ウ]$である．

(4)白球$4$個，黒球$3$個，赤球$2$個が入っている袋から，$2$個の球を同時に取り出すとき，$2$個の球が異なる色である確率は$[エ]$である．

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき，極値を求めよ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を求めよ．
(4)$0<k<1$とする．直線$y=kx$と$y=f^\prime(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$の式で表せ．
(5)$S_2$が$S_1$の$\displaystyle \frac{1}{8}$となるときの$k$の値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 8$とする．

(1)不等式
\[ \sin \left( \frac{\pi}{12}x \right)+\cos \left( \frac{\pi}{12}x \right) \leqq \frac{\sqrt{6}}{2} \]
を満たす$x$の範囲は
\[ 0 \leqq x \leqq [ア] \quad \text{および} \quad [イ] \leqq x \leqq 8 \cdots\cdots (*) \]
である．
(2)$x$が$(*)$の範囲を動くとき，関数
\[ f(x)=|x(x-5)(x-8)| \]
は$x=[ウ]$のとき最大値$[エ]$をとる．

以下の不等式$(ⅰ)$～$\tokeigo$をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S$とする．

$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$

次の問いに答えよ．

(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．