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私立 早稲田大学 2014年 第3問直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第4問$0<a<2$とする．いま
\[ I=\int_a^{a+2} \left( |x^2-4|+\frac{1}{6} \right) \, dx \]
とおくとき
\[ I=\frac{[サ]a^3+[シ]a^2+[ス]a+[セ]}{[ソ]} \]
である．さらに$I$は$a=[タ]+\sqrt{[チ]}$のとき，最小値$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$をとる．
\[ I=\int_a^{a+2} \left( |x^2-4|+\frac{1}{6} \right) \, dx \]
とおくとき
\[ I=\frac{[サ]a^3+[シ]a^2+[ス]a+[セ]}{[ソ]} \]
である．さらに$I$は$a=[タ]+\sqrt{[チ]}$のとき，最小値$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$をとる．
私立 早稲田大学 2014年 第5問角$A$が鈍角の三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$2 \sqrt{2}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{[ナ] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ニ] \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{[ヌ]} \]
である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2014年 第2問実数$a,\ b,\ c$が
\[ a+b+c=8,\quad a^2+b^2+c^2=32 \]
を満たすとき，実数$c$の最大値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
\[ a+b+c=8,\quad a^2+b^2+c^2=32 \]
を満たすとき，実数$c$の最大値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第3問直線$4x+3y=48$，$3x-4y=0$と$y$軸のつくる三角形に内接する円の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$である．
私立 早稲田大学 2014年 第4問不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} \geqq 1 \\
-3 \leqq x \leqq 3 \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$である．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9} \geqq 1 \\
-3 \leqq x \leqq 3 \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$は$2$次方程式$x^2+[ア]x+[イ]=0$の解であり，$a^3+6a^2-21a+23$の値は$[ウ]+[エ] \sqrt{[オ]}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$である正六角形の$6$つの頂点から$3$つの頂点を選び三角形を作る．
(1)この三角形が正三角形になる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
(1)この三角形が正三角形になる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コ]}$である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問複素数$\displaystyle\alpha=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \alpha^{k-1},\quad T_n=\sum_{k=1}^n k \alpha^{k-1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ただし，$\alpha^0=1$とする．次の問に答えよ．
(1)$S_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$T_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(3)$T_{2014}$を求めよ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \alpha^{k-1},\quad T_n=\sum_{k=1}^n k \alpha^{k-1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ただし，$\alpha^0=1$とする．次の問に答えよ．
(1)$S_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$T_{3m} (m=1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(3)$T_{2014}$を求めよ．