放物線$C_1:y=x^2$と放物線$C_2:y=-(x-a)^2+b$が点$\mathrm{P}(t,\ t^2) (t>0)$において接している．

(1)$a$と$b$を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C_2$と$x$軸との交点のうち，$x$座標の小さい点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．$C_1$と$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$は$t$に無関係な値であることを示せ．

下図の様な道路網がある．毎日，$6$つの区間のそれぞれは確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で通行止めとなる．ある日に$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行くことのできる確率を求めよ．
（図は省略）

次の問に答えよ．

(1)$1$個のサイコロを$3$回投げるとき，出た目の数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin x \, dx$を求めよ．

(3)$\displaystyle {\left( \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)}^{2014}$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 2 \cos \frac{2}{5} \pi-2 \cos \frac{\pi}{5}+1=0$が成り立つことを利用して$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5}$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2}{5} \pi \cdot \cos \frac{3}{5} \pi \cdot \cos \frac{4}{5} \pi$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2}{2-x}$について，以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

(3)$0 \leqq a \leqq 1$とし，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線を$y=g(x)$とする．定積分$\displaystyle \int_0^1 g(x) \, dx$の値$S$を最大にする$a$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{a}$，$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$の$5$文字を$1$列に並べるとき，$\mathrm{a}$が隣り合わない並べ方は何通りあるか．
(2)${10}^{\frac{n}{77}}$が$5$より大きくなる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle \cos x+\cos \left( \frac{\pi}{3}-x \right)$の取りうる値の範囲を答えよ．

数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{5}{5},\ \cdots$について，第$2014$項を求めよ．

$a$を正の実数とし，$2$つの放物線
\[ C_1:y={\left( 2x+\frac{1}{a} \right)}^2,\quad C_2:y={(x-a)}^2 \]
を考える．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

下図のように，$1$辺の長さ$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，$1$辺の長さ$1$の正方形からなる格子で区画されている．点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発して次のルールに従って格子の上を動くものとする．$\mathrm{X}$と記したカードと，$\mathrm{Y}$と記したカード$5$枚ずつを，よくシャッフルして上から順にカードをめくる．$\mathrm{X}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{X}$方向，$\mathrm{Y}$と記したカードが出た場合は図の$\mathrm{Y}$方向に$1$だけ動く．すべてのカードがめくり終わると，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{C}$に到達していることになる．このとき，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AB}$，線分$\mathrm{BC}$で囲まれる部分の面積を$S_1$，点$\mathrm{P}$の動いた経路と，線分$\mathrm{AD}$，線分$\mathrm{DC}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)カードが$\mathrm{YXYXXYYYXX}$の順に出たとき
\[ S_1=[ア],\quad S_2=[イ] \]
である．
(2)$|S_1-S_2| \geqq 19$となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
（図は省略）

実数$a,\ b,\ c$が
\[ a+b+c=8,\quad a^2+b^2+c^2=32 \]
を満たすとき，実数$c$の最大値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．