次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられている．一般項を求めると$a_n=[コ]$である．
(2)等比数列において，初項から第$n$項までの和が$27$，初項から第$2n$項までの和が$36$であった．第$2n+1$項から第$3n$項までの和は$[サ]$である．

関数$f(x)=-2 \sin^2 x+\cos^2 x-6a \cos x$において，定数$a$が$0<a<1$を満たすとき，$f(x)$の最小値は$[ト]$となる．$\displaystyle a=\frac{1}{3}$のとき，$f(x)$の最小値は$[ナ]$であり，最大値は$[ニ]$である．

四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$のとき，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{E}$を通り辺$\mathrm{AD}$に平行に直線を引いたときの辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．このとき，次のベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[ヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=[ネ]$

条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．

(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$について，$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい．
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．

数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_2=3$，$\displaystyle a_{n+2}=\frac{(a_{n+1})^3}{(a_n)^2}$を満たしている．$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_{n+2}$を$b_{n+1}$，$b_n$を用いて表すと$b_{n+2}=[　]$となる．また，$b_n=[　]$である．

関数$\displaystyle f(x)=2x-1+2 \cos^2 x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点における接線と曲線$y=f(x)$および$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{5}{6}$ならば$\tan \theta=[　]$である．また，$\tan \theta=2$ならば，$\cos 2\theta+\cos \theta=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．

$a,\ b$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x-a}{b}}+2} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x>a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=[ア]$であり，$x<a$のとき，$\displaystyle \lim_{b \to +0}f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)曲線$y=f(x)$の点$(a,\ f(a))$における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[エオ]}{[カ]b}x+\frac{a+[キ]b}{[ク]b}$である．
(3)$\displaystyle b=\frac{1}{3}$とする．$t=e^{3(x-a)}$とおくと，$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{[ケ]t}$であり，正の定数$c$に対して，
\[ \int_a^{a+c}f(x) \, dx=\frac{1}{[コ]} \log \left( \frac{[サ]e^{3c}}{e^{3c}+[シ]} \right) \]
となる．また，正の定数$p,\ q$が，$\displaystyle \int_{a-q}^{a+p} f(x) \, dx=\frac{4}{3}p$を満たすとき，
\[ q=\frac{1}{[ス]} \log \left( \frac{e^{[セ]p}+[ソ]e^{[タ]p}-1}{[チ]} \right) \]
となる．