$\triangle \mathrm{OAB}$について考える．辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OA}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+n \overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$m,\ n$は実数）と表せるとき，$\displaystyle \frac{15m}{2n}$の値を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{ax+b}{x^2+x+1}$が$x=2$で最大値$1$をとるとき，$a-b$の値を求めよ．

定積分$\displaystyle 3 \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{(\log x)^2}{x} \, dx$（$\log x$は自然対数）の値を求めよ．

点$\displaystyle \mathrm{P}(\cos^4 \theta,\ -\sin^4 \theta) (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$の軌跡を曲線$C$とし，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$における曲線$C$の接線を直線$L$とする．曲線$C$，直線$L$，$y$軸で囲まれた面積を$S$とする．$128S$の値を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1715}{414}=[ア]+\frac{1}{[イ]+\displaystyle\frac{1}{[ウエ]}}$と表すことができる．

(2)$y=x^2+2x+5$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$2$次関数のグラフが点$(0,\ 16)$を通り，最小値が$7$となるとき，正の実数$p,\ q$の値は$p=[オ]$，$q=[カ]$である．
(3)不等式$\displaystyle -1<\log_4 x-\log_2 x<\frac{3}{2}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}<x<[ケ]$である．
(4)$10$本のくじがあって，そのうち$3$本が当たりくじであるとする．引いたくじを元にもどさないでくじを引くとき，$7$本目までに当たりくじを引く確率は$\displaystyle \frac{[コサシ]}{[スセソ]}$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と三角形の外部にある点$\mathrm{O}$を結ぶ各直線が，三角形の対辺またはその延長上と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{O}$は三角形の辺上にも，その延長上にもないものとする．
（図は省略）

(1)三角形の面積比$\triangle \mathrm{AOB}:\triangle \mathrm{AOC}$および$\triangle \mathrm{BOC}:\triangle \mathrm{BOA}$を線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{CP}$，$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{CQ}$の長さを用いて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OR}}=1$となることを証明せよ．
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AR}=4$，$\mathrm{CP}=3$のとき，比$\mathrm{RO}:\mathrm{CO}$を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)$\displaystyle \sin x-\sin y=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{3}$のとき，$\cos (x-y)$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウエ]}$であり，$\cos (x+y)$の値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は，第$11$項が$20$で
\[ a_{n+1}=a_n-\frac{2}{3} \int_{a_n}^{a_{n+1}} (x-a_n)(x-a_{n+1}) \, dx \]
と
\[ a_1>a_2>\cdots >a_n>a_{n+1}>\cdots \]
を満たすものとする．初項は$[クケ]$であり，数列の和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は，$n=[コサ]$のとき，最大値$[シスセ]$をとる．

放物線$y=-x^2+8x$と直線$y=2x+t (t \geqq 0)$と直線$x=0$，$x=6$とで囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$S(12)=[アイ]$である．
(2)$S(t)$が$3$つの部分の面積の和になるのは$[ウ]<t<[エ]$のときである．このとき$S(t)$は
\[ [オ](t-[カ])+\frac{[キ]}{[ク]}([ケ]-t) \sqrt{[ケ]-t} \]
である．
(3)以下$[ウ]<t<[エ]$で考える．$A=\sqrt{[ケ]-t}$とおく．$S(t)$を$A$で表すと
\[ S(t)=\frac{[コ]}{[サ]}A^3-[シ]A^2+[スセ] \]
となる．また$\displaystyle A=\frac{[ソ]}{[タ]}$のとき$S(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テ]}$をとる．

一辺の長さが$1$である正三角形を右図のように一段ずつ積み重ねていき，$k$段積み重ねた図形を$F_k$とおく．図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形$\triangle$の個数を$F_k(n)$とおく（下向きの正三角形$\bigtriangledown$は考えない）．例えば$F_2(1)=3$，$F_2(2)=1$である．このとき，次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$F_3(1)=[ア]$，$F_3(2)=[イ]$，$F_3(3)=[ウ]$である．
(2)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$1$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(1)=\frac{[エ]([エ]+[オ])}{[カ]} \]
である．
(3)図形$F_k$に表れる一辺の長さが$n$である上向きの正三角形の個数は
\[ F_k(n)=\frac{([キ]-n+[ク])([ケ]-n+[コ])}{[サ]} \]
である．ただし，$[ク]<[コ]$となるように表しなさい．
(4)図形$F_k$に表れる上向きの正三角形の個数は全部で
\[ \frac{[シ] ([ス]+[セ])([ソ]+[タ])}{[チ]} \]
である．ただし$[セ]<[タ]$となるように表しなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの角の大きさの比$A:B:C$が$2:3:7$であるとする．また，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$におろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$としたとき$\mathrm{BD}=\sqrt{10}$である．

(1)$\mathrm{BC}=2 \sqrt{[サ][シ]}$，$\mathrm{AD}=\sqrt{[ス][セ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$5+5 \sqrt{[ソ][タ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$が内接する円の面積は$[チ][ツ] \pi$である．ただし，$\pi$は円周率を表す．
(4)$\displaystyle \cos C=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{[テ][ト]}}{4}$である．