$n$を自然数とする．赤玉が$n$個，青玉が$2$個，白玉が$1$個入った袋がある．

(1)袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=[$31$][$32$]$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は$\displaystyle \frac{7}{4}$である．
(2)袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．

(i) $n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は$\displaystyle \frac{[$33$][$34$]}{4^{10}}$である．
(ii) 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで
「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」
であるものの総数は$3^{10}-[$35$][$36$]$である．

$\displaystyle x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=2$のとき，$\displaystyle x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}$の値を求めよ．ただし，$x>0$とする．

方程式$\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{2x}=\left( \frac{16}{9} \right)^{x-1}$の解を$a$とするとき，$6a$の値を求めよ．

$\displaystyle \sin \theta \left( \frac{1}{\tan \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta-1} \right)=a \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$であるとき，$a^2$の値を求めよ．

方程式$\cos 2\theta-3 \sin \theta+1=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{\pi}$の値を求めよ．

正解か不正解かだけを問う二者択一式の問題が$10$個ある．でたらめに解答し$2$問だけ正解であった．このときの確率を$p$とする．$\displaystyle \frac{2^{10}}{5}p$の値を求めよ．

辺$\mathrm{AB}$の長さが$3$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$について考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_2$としたとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

円$C_1:x^2+y^2=1$，円$C_2:(x-4)^2+y^2=25$について考える．点$\mathrm{R}(2,\ 0)$から円$C_1$にひいた接線を直線$L$とする（直線$L$の傾きは負の実数とする）．このとき，円$C_2$と直線$L$は$2$つの異なる点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$a$としたとき，$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{6}}$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$上の点$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ -\frac{3}{2} \right)$における接線の傾きを$k$とする．$\displaystyle \frac{4k^2}{3}$の値を求めよ．

正の実数$a,\ b,\ c (a \neq b,\ a \neq c,\ b \neq c)$について考える．$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{2}{b},\ \frac{1}{c}$がこの順で等比数列であり，$a,\ b,\ 3c$がこの順で等差数列となるとき，$\displaystyle \frac{a}{c}$の値を求めよ．