次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 |x-a|(x+1) \, dx$を最小にする$a$の値は
\[ a=[$18$][$19$]+\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \sqrt{[$24$][$25$]} \]
である．
(2)$f(a)$を$0 \leqq x \leqq 1$における$|x-a|(x+1)$の最大値とする．このとき$f(a)$を最小にする$a$の値は
\[ a=\frac{[$26$][$27$]}{[$28$][$29$]} \]
である．

数列$\{a_n\}$に対してつぎのように定められる数列$\{b_n\}$を$\{a_n\}$の階差数列という．
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とし，$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$としよう．いま
\[ a_1=1,\quad b_1=2,\quad c_1=4 \]
であり，$d_n$はすべて$8$に等しいとする．このとき
\[ a_5=[$101$][$102$],\quad a_6=[$103$][$104$][$105$],\quad a_7=[$106$][$107$][$108$] \]
であり，一般に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ a_n=\frac{1}{3} \left( [$109$][$110$]n^3-[$111$][$112$]n^2+[$113$][$114$]n-[$115$][$116$] \right) \]
である．

$a_1=0$，$a_{n+1}=\log (a_n+e) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の収束について調べたい．以下の問いに答えなさい．

(1)方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい．
(2)すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい．
(4)すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し，これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい．

$x$に関する$3$つの関数$f_1(x)=x(15-x)$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{x(30-x)}{2}$，$f_3(x)=x(17-x)$が与えられている．

(1)$x_1+x_2=c$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$という条件の下で$f_1(x_1)+f_2(x_2)$を最大にする問題を考える．ただし，$c$は$20$以下の正数とする．最大値$V(c)$を与える$x_1,\ x_2$の値をそれぞれ$p,\ q$とすると，$\displaystyle q=\frac{[$10$][$11$]}{[$12$][$13$]}c$である．$V(c)=42$となる$c$の値は$[$14$][$15$]$である．
(2)$x_1+x_2+x_3=20$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$，$x_3 \geqq 0$という条件の下で
\[ f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3) \]
を最大にする問題を考える．最大値を与える$x_1,\ x_2,\ x_3$の値をそれぞれ$p,\ q,\ r$とすると
\[ q=\frac{[$16$][$17$]}{[$18$][$19$]},\quad r=\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \]
である．

関数$f_1(x)$，$g_1(x)$をつぎのように定める．
\[ \begin{array}{l} f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (x>1) \\
x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\
-1 & (x<-1)
\end{array} \right. \\ \\
g_1(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(f_1(1+x)+f_1(1-x))
\end{array} \]
このとき
\[ \int_{-1}^1 g_1(x) \, dx=\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
である．

つぎに関数$f_2(x)$をつぎのように定める．
\[ f_2(x)=\int_0^x g_1(t) \, dt \]
このとき
\[ f_2(x)=x-\frac{x^2}{[$39$]} \quad (0 \leqq x \leqq 2),\quad \int_0^2 f_2(x) \, dx=\frac{[$40$]}{[$41$]} \]
を得る．さらに
\[ g_2(x)=\frac{1}{2}(f_2(1+x)+f_2(1-x)) \]
とおけば
\[ g_2(x)=\frac{[$42$]}{[$43$]}-\frac{[$44$]}{[$$45]}x+\frac{[$46$]}{[$47$]}x^2 \quad (1 \leqq x \leqq 3) \]
そして
\[ \int_{-3}^3 g_2(x) \, dx=[$48$][$49$] \]
を得る．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき，
\[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=[ア] \alpha \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \]
であるとき，$\mathrm{AC}=[イ]$である．
(3)$X=\left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$Y=\left( \begin{array}{rr}
-3 & 0 \\
0 & -3
\end{array} \right)$および自然数$n$に対し，
\[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc}
[ウ] & [エ] \\
[オ] & [カ]
\end{array} \right) \]
となる．
(4)$a,\ b$を$a>0$，$b>1$となる実数とする．放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=[キ]$かつ$a>[ク]$が成り立つことである．ただし，$[キ]$には$a$の式，$[ク]$には数を記入すること．

$1$個のさいころを繰り返し投げて次のルールで持ち点を変えていく．

{\bf ルール}
$1,\ 2,\ 3$の目のどれかが出たとき，持ち点に$1$点を加える．
$4,\ 5$の目のどちらかが出たとき，持ち点に$2$点を加える．
$6$の目が出たとき，持ち点をすべて失い$0$点とする．

いま，はじめの持ち点は$0$点とする．

(1)さいころを$2$回投げたときの持ち点の期待値は$[ケ]$である．
(2)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$2$点以上となる確率は$[コ]$である．
(3)さいころを$4$回投げたとき持ち点が$4$点となる確率は$[サ]$である．
(4)さいころを$n$回投げたとき持ち点が$0$でない偶数となる確率を$P_n$とする．$\displaystyle P_1=\frac{1}{3}$，$P_2=[シ]$である．また，$P_{n+1}$と$P_n$の間には$P_{n+1}=[ス]$という関係式が成り立つ．これより$P_n$を$n$を用いて表すと$P_n=[セ]$となる．

以下の$[ト]$，$[ナ]$，$[ニ]$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを用いて記入し，$[ヌ]$には$x$の式，$[ネ]$には$y$の式を記入すること．

座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=f(\theta) \\
y=g(\theta)
\end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表されているとする．いま，関数$f(\theta)$，$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする．また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり，この接線から$x$軸，$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする．
まず，この曲線$C$の方程式を求めたい．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=[ト]$となる．この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより，$f(\theta)=[ナ]$，$g(\theta)=[ニ]$となる．したがって，曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと
\[ [ヌ]+[ネ]=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \]
となる．
次に，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする．$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると，$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=[ノ]$となる．
また，曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．

$1$辺の長さが$1$である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[$1$][$2$]}{[$3$]}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は
\[ \frac{[$7$]}{[$8$]}<s<\frac{[$9$]}{[$10$]} \]
である．
(3)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は
\[ [$11$][$12$] \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+[$13$][$14$] \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \]
をみたす．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．

(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．