曲線$y=\log 2x$上の点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \log 2t) \left( 0<t<\frac{1}{2} \right)$における接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{A}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．
(3)$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．

$a$を正の数とする．このとき，次の関係式をみたす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{a}} f(t) \cos (at-2ax) \, dt+1 \]

関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．

(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$

(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$

すべての実数$x,\ y$に対して不等式
\[ \frac{1}{1+x^2+(y-x)^2} \leqq \frac{a}{1+x^2+y^2} \]
が成り立つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b$を正の実数とするとき，不等式
\[ a^3+b^3 \geqq a^2b+ab^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(2)$2$次方程式
\[ 2x^2-kx+1=0 \]
が，$0<x<1$および$1<x<2$の範囲に解を$1$つずつもつとき，定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の実数$x,\ y,\ z$が
\[ \frac{yz}{x}=\frac{zx}{4y}=\frac{xy}{9z} \]
を満たすとする．このとき，式
\[ \frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \]
の値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)定積分
\[ \int_0^{2\pi} \sin \frac{7x}{3} \cos \frac{2x}{3} \, dx \]
を求めなさい．
(2)次の無限級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めなさい．
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{(2n)^2-1}+\cdots \]
(3)$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ 1-4 \cos^2 x=a \quad (0 \leqq x<\pi) \]
の異なる解の個数を調べなさい．

次のように定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2{a_n}^3+1}{3{a_n}^2} \]

(1)$a_2$を求めなさい．
(2)任意の自然数$n$について$a_n>1$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
(3)任意の自然数$n$について$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示しなさい．

$a,\ b$を正の定数とし，関数$y=f(x)$，$y=g(x)$を次のように定める．


$f(x)=2 \sqrt{x-a} \quad (x \geqq a)$

$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{4}+b \quad (x \geqq 0)$


$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とし，$C_1$と$C_2$は$1$点$\mathrm{P}$において接している．すなわち，点$\mathrm{P}$は$C_1$，$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$におけるそれぞれの接線は一致する．

(1)関数$y=f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$および$b$を$t$を用いて表しなさい．
(3)$t$の値の範囲を求めなさい．
(4)$C_1$，$C_2$，$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$t$を用いて表しなさい．
(5)$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めなさい．