座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．

(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$

(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．

$0$でない実数$t$に対して，座標空間における$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( t,\ \frac{1}{1+t^2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( t,\ 0,\ \frac{t}{1+t^2} \right)$を考える．以下の各問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

放物線$y=x^2$を$C$として，$C$上に点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$をとる．正の実数$a$に対して，点$\mathrm{B}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_2$とする．また，$C$と$\ell_1$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の$x \geqq 0$の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 2<\frac{S_2}{S_1}<2.01$を満たすための$a$の条件を求めよ．

$A,\ E$はそれぞれ行列$\left( \begin{array}{cc}
2 & 4 \\
1 & -1
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A(A+2E)=a_1(A+2E)$，$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$，$b_1$を求めよ．
(2)各自然数$n$に対して
\[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \]
となる数$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3)各自然数$n$に対して，$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ．
(5)各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{k}{x+1}-1$と定める．ただし，$k$は正の定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフが$x$軸と交わる点の$x$座標を$k$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\int_0^2 |f(x)| \, dx$を求めよ．
(3)$(2)$における$S$を最小にする$k$と，そのときの$S$の値を求めよ．

座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，放物線$y=x^2$，直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする．$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし，$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ．

座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．

$\alpha \neq 0$，$\beta \neq 0$として，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\
f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
と定める．ただし，$a_1$，$b_1$，$\alpha$，$\beta$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$（$a_n,\ b_n$は実数）の形で表されることを示せ．
(2)$(1)$における$a_n,\ b_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$について，行列$P$を用いて
\[ \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \]
と表すとき，行列$P$を求めよ．
(3)$a_1=0$，$b_1=2$，$\alpha=\sqrt{3}$，$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき，$f_{99}(x)$を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれある地域の東公園，西公園および北公園のいずれかに行こうとしている．この$3$人は次のように，硬貨の表裏によって，どの公園に行くのかを決める．
\begin{itemize}
$\mathrm{A}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら東公園に行く．裏が出たら西公園に行く．
$\mathrm{B}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら西公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら北公園に行く．
$\mathrm{C}$は手持ちの硬貨を$1$枚投げて，表が出たら北公園に行く．裏が出たら，もう$1$度その硬貨を投げて，表が出たら東公園に行き，裏が出たら西公園に行く．
\end{itemize}
ただし，$3$人が使用する硬貨は，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$はどの公園に行ってもよいものとする．
(2)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が同じ公園に行く確率を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$はどの公園に行ってもよいものとする．
(3)$3$人が同じ公園に行く確率を求めよ．
(4)少なくとも$2$人が同じ公園に行く確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．