$a_1=2$とし，$f(x)=x^2-3$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする．以下同様に，$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．

「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」

この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc}
P_n(x) & Q_n(x) \\
R_n(x) & S_n(x)
\end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2)$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．

「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」

この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

点$(0,\ 5)$を通る直線$\ell$と楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)楕円$C$と共有点をもつ直線$\ell$の方程式をすべて求めよ．
(2)楕円$C$と直線$\ell$が接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円$C$と直線$\ell$が第一象限で接するとき，$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{{(1+i)}^3}{-2+3i}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(2)$3$つの行列の積$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
2 & 3
\end{array} \right)$を計算せよ．
(3)$f(x)={(x+4)}^{\frac{5}{6}}{(3x+2)}^{\frac{4}{3}}$とする．関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^\prime(0)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{3n}$を求めよ．

$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc}
P_n(x) & Q_n(x) \\
R_n(x) & S_n(x)
\end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2)$a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．

最初の持ち点を$1$点として，$n$回硬貨を投げ，投げるたびに，表が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{7}{4}$倍に，裏が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{1}{2}$倍になるゲームを考える．たとえば，$n=2$で表，裏の順に出れば，持ち点は$\displaystyle 1 \times \frac{7}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{8}$点となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．
(2)$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．
(3)$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．

最初の持ち点を$1$点として，$n$回硬貨を投げ，投げるたびに，表が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{7}{4}$倍に，裏が出ると持ち点は$\displaystyle \frac{1}{2}$倍になるゲームを考える．たとえば，$n=2$で表，裏の順に出れば，持ち点は$\displaystyle 1 \times \frac{7}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{7}{8}$点となる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=2$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点のとりうる値をすべて求めよ．
(2)$n=4$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点が$1$点以下になる確率を求めよ．
(3)$n=k$のとき，ゲームが終わったあとの持ち点の期待値を$k$を用いて表せ．