曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

放物線$C:y=ax^2+bx+c (a>0)$を考える．$2$本の直線
\[ \ell_1:y=\frac{5}{2}x \quad \text{および} \quad \ell_2:y=-\frac{1}{2}x \]
は$C$に接するものとする．$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{P}$，$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma (\alpha \neq 0)$を定数とするとき，$2$次方程式$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$が重解を持つための条件を求めよ．
(2)$b$の値を求めよ．また，$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値にかかわらず$C$の頂点は直線$m$上にある．$m$の方程式を求めよ．
(5)$C$と$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

点$\mathrm{P}$は次の$①$，$②$，$③$の規則に従って数直線上を動く．

\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[　](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x \frac{dt}{(t^2+1)^n}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(1)$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく．$g^\prime(x)$を求め，$x>0$のとき
\[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，
\[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \]
が成り立つことを示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi (n \geqq 2)$であることを示せ．ただし，$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする．

$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が，$a_1=1$，$b_1=1$および
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
a_{n+1}=2a_n+6b_n & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=2a_n+3b_n & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
で定められているとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組を$2$組求めよ．
(2)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$を求めよ．

$a$を定数とし，$e$を自然対数の底とする．曲線$y=xe^{-x^2}$および直線$y=ax$をそれぞれ$C,\ L$とする．$C$と$L$は原点$(0,\ 0)$以外に交点をもつ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．また，$C$と$L$の交点でその$x$座標が正であるものを$a$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 0$において$C$と$L$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle S(a)<\frac{1}{2}$であることを示せ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=0,\quad a_2=4,\quad a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n+{3}^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．さらに，$b_n=a_{n+1}-3a_n$とおく．

(1)$c_n=b_n-{3}^n$とおくとき，$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．また，数列$\{c_n\}$および数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle d_n=\frac{a_n}{{3}^{n-1}}$とおくとき，$d_{n+1}$を$d_n$を用いて表せ．また，数列$\{d_n\}$および数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

白球$6$個と黒球$4$個がある．はじめに，白球$6$個を横$1$列に並べる．次に，

$1$から$6$の目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる

という操作を$4$回繰り返す．例えば，

$1$回目に$1$の目，$2$回目に$5$の目，$3$回目に$5$の目，$4$回目に$2$の目

が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる．
（図は省略）
最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$k=0$である確率を求めよ．
(2)$k=1$である確率を求めよ．
(3)$k$の期待値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき，関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ．ただし，横軸に$\theta$，縦軸に$y$をとるものとする．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ．また，$\sin 8\theta$の値を求めよ．
(2)$t=\cos \theta$とおく．関数$\displaystyle y=-\frac{8}{9} \sin^2 \frac{\theta}{2}-\frac{4}{9} \sin^2 \theta+\frac{1}{2}$を$t$の関数として表せ．
(3)$(2)$の関数$y$の$0 \leqq \theta<2\pi$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．