「分数」について
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国立 群馬大学 2014年 第2問$p$を正の実数とする．放物線$y=3x^2-px+1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{4}{27}$であるとき，$p$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{3}{4}$となるようにとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第3問座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．
(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2014年 第2問座標平面において，動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し，$C$上を反時計回りに$1$周する．弧$\mathrm{PQ}$の長さは，出発してからの時間に比例する．$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．
(1)出発してから$t$秒後（$0 \leqq t \leqq T$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ．
(2)出発してから$t$秒後（$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$）の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える．$z$の最大値と最小値を求めよ．また最大値，最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2014年 第2問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第3問$a,\ b$は実数で$a>0$，$b>1$とする．放物線$y=ax^2+1$と直線$y=b$との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}_1$とし，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$と直線$y=b$の交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}_2$とする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の間の距離を$d$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
国立 群馬大学 2014年 第4問$n$を自然数とする．$5832$を底とする$n$の対数$\log_{5832}n$が有理数であり$\displaystyle \frac{1}{2}<\log_{5832}n<1$を満たすとき，$n$を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t (t \geqq 0)$を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)$，$y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における$C$の接線の傾きが$\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第4問座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．