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国立 東京海洋大学 2014年 第2問次の不等式$①$，$②$，$③$を同時に満たす領域を$A$，不等式$①$，$②$，$③$，$④$を同時に満たす領域を$B$とする．
\[ \begin{array}{lr}
y \leqq 2(x+1)(9-x) & \cdots\cdots① \\
y \geqq -3x+18 & \cdots\cdots② \\
y \geqq 0 & \cdots\cdots③ \\
x \leqq a & \cdots\cdots④
\end{array} \]
ただし，$0<a<6$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)領域$A$の面積を求めよ．
(2)領域$B$の面積が領域$A$の面積の$\displaystyle \frac{1}{4}$倍になるときの$a$の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lr}
y \leqq 2(x+1)(9-x) & \cdots\cdots① \\
y \geqq -3x+18 & \cdots\cdots② \\
y \geqq 0 & \cdots\cdots③ \\
x \leqq a & \cdots\cdots④
\end{array} \]
ただし，$0<a<6$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)領域$A$の面積を求めよ．
(2)領域$B$の面積が領域$A$の面積の$\displaystyle \frac{1}{4}$倍になるときの$a$の値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha-1}+\frac{\alpha}{\beta-1}$の値を求めよ．
(2)$x$が自然数のとき，不等式$(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2<1$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について，$4 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っている．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$であるとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$は，$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\sqrt{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{B}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たす．下図のように，点$\mathrm{A}_1$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_2$とし，点$\mathrm{B}_2$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_2 \mathrm{A}_2$とする．次に，点$\mathrm{A}_2$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_3$とし，点$\mathrm{B}_3$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_3 \mathrm{A}_3$とする．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\cdots$を，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\cdots$を定める．自然数$n$に対し，$\triangle \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，これらの面積の総和を$\displaystyle T=\sum_{n=1}^\infty S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある．ただし$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ y \geqq 4$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式$x^2+y^2 \leq 25,\ x \geqq 4,\ y \geqq 0$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ 0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$を満たす領域の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \sin \theta_0=\frac{3}{5}$を満たす角$\displaystyle \theta_0 \left( 0<\theta_0<\frac{\pi}{2} \right)$を使用せよ．
(1)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ y \geqq 4$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式$x^2+y^2 \leq 25,\ x \geqq 4,\ y \geqq 0$を満たす領域を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式$x^2+y^2 \leqq 25,\ 0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$を満たす領域の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \sin \theta_0=\frac{3}{5}$を満たす角$\displaystyle \theta_0 \left( 0<\theta_0<\frac{\pi}{2} \right)$を使用せよ．
国立 山形大学 2014年 第3問次の問に答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int t \sin t \, dt$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\displaystyle\frac{2|{3}\pi-2t} \sin t \, dt$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．$f(x)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$x$の値をそれぞれ求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int t \sin t \, dt$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\displaystyle\frac{2|{3}\pi-2t} \sin t \, dt$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．$f(x)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$x$の値をそれぞれ求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第1問数列$\{a_n\}$は
$a_1=a_2=-1,$
$a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+na_n=(n^2+n+1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)数学的帰納法を用いて，
\[ a_{n+1}-na_n=(n-1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{(n-1)!}$とおくとき，$(1)$を用いて数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
$a_1=a_2=-1,$
$a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+na_n=(n^2+n+1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)数学的帰納法を用いて，
\[ a_{n+1}-na_n=(n-1)(n+1)! \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{(n-1)!}$とおくとき，$(1)$を用いて数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第2問$p$を正の実数とする．放物線$y=3x^2-px+1$と$x$軸で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{4}{27}$であるとき，$p$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第4問$p$を素数とする．初項，公差がともに$5p$の等差数列を$\{a_n\}$とする．数列$\{b_n\}$は公差が$p$の等差数列で$\displaystyle \sum_{n=1}^p a_n=a_1+a_p+5 \sum_{n=1}^p b_n$を満たす．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．
(1)$b_1$を求めよ．
(2)$p=2$のとき，$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．
(3)$p \geqq 3$とする．$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$の値が自然数となるような$p$と$n$の組$(p,\ n)$をすべて求めよ．