「分数」について
タグ「分数」の検索結果
（161ページ目：全4648問中1601問～1610問を表示）
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
国立 徳島大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．
(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第5問実数$a$に対して，下の$4$つの条件$p,\ q,\ r,\ s$を考える．ただし，実数$k$に対して，$[k]$は$k$以下の最大の整数を表し，$\langle k \rangle$は$k$以上の最小の整数を表すとする．たとえば，$k=2.15$のとき，$[k]=2$であり，$\langle k \rangle=3$である．また，$|k|$は$k$の絶対値を表す．
$p:x^2+4x+a^2=0$を満たす実数$x$が存在する．
$q:[a]<\langle a \rangle$
$\displaystyle r:|a-1.5|<\frac{1}{|a-1.5|+1.5}$
$\displaystyle s:0<a<\pi$，かつ，$\displaystyle \sin \left( 2a-\frac{\pi}{4} \right)+\sin \left( 2a+\frac{\pi}{4} \right)=0$
上の$p,\ q,\ r,\ s$それぞれについて，条件を満たす$a$の範囲を求めよ．さらに，以下の$①$，$②$，$③$それぞれについて，$p,\ q,\ r,\ s$の中から，あてはまるものを全て答えよ．
$①$ $p$であるための十分条件である．
$②$ $q$であるための十分条件である．
$③$ $r$であるための十分条件である．
$p:x^2+4x+a^2=0$を満たす実数$x$が存在する．
$q:[a]<\langle a \rangle$
$\displaystyle r:|a-1.5|<\frac{1}{|a-1.5|+1.5}$
$\displaystyle s:0<a<\pi$，かつ，$\displaystyle \sin \left( 2a-\frac{\pi}{4} \right)+\sin \left( 2a+\frac{\pi}{4} \right)=0$
上の$p,\ q,\ r,\ s$それぞれについて，条件を満たす$a$の範囲を求めよ．さらに，以下の$①$，$②$，$③$それぞれについて，$p,\ q,\ r,\ s$の中から，あてはまるものを全て答えよ．
$①$ $p$であるための十分条件である．
$②$ $q$であるための十分条件である．
$③$ $r$であるための十分条件である．
国立 九州工業大学 2014年 第2問座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right)$が表す移動（$1$次変換）を$f$とし，直線$x+2y=1$を$\ell$とする．次に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(p_1,\ p_2)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}(q_1,\ q_2)$とする．$\mathrm{P}$が$\ell$上の点のとき，$\mathrm{Q}$は$\ell$上にあることを示せ．
(2)$\ell$上の点$\mathrm{R}$は$f$によって$\mathrm{R}$自身に移る．
(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $\mathrm{R}$と異なる$\ell$上の点$\mathrm{P}$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{RP}}|}$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．さらに$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right)$が表す移動（$1$次変換）を$f$とし，直線$x+2y=1$を$\ell$とする．次に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(p_1,\ p_2)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}(q_1,\ q_2)$とする．$\mathrm{P}$が$\ell$上の点のとき，$\mathrm{Q}$は$\ell$上にあることを示せ．
(2)$\ell$上の点$\mathrm{R}$は$f$によって$\mathrm{R}$自身に移る．
(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $\mathrm{R}$と異なる$\ell$上の点$\mathrm{P}$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{RP}}|}$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．さらに$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
国立 徳島大学 2014年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．
(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．