次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

$2$つの確率変数$X,\ Y$の確率分布を同時に考えた表（同時確率分布表）が下のように与えられている．ただし，$X,\ Y$は互いに独立であり，$0<a<1$，$0<b<1$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
（図は省略）

(1)表を完成させ，完成させた表を書け．
(2)確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ．
(3)確率変数$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$の確率分布表を作成し，$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．
(4)$\displaystyle E(Z)=\frac{9}{4},\ E(W)=-\frac{3}{2}$となる場合に，$Z$の分散$V(Z)$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{{2}^x}$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする．このとき，$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して，不等式
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)$n$を自然数とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で，$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする．このとき，不等式
\[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
a_1=1, & a_{n+1}=\sqrt{2b_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_1=3, & b_{n+1}=\sqrt{2a_n+1} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
と定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha=1+\sqrt{2}$とする．自然数$n$に対して，不等式$|a_{n+1|-\alpha} \leqq \left( \displaystyle \frac{2}{1+\alpha} \right) |b_n-\alpha|$が成り立つことを示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

$a>0$，$b>1$とする．関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し，関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$，$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める．また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める．次の問いに答えよ．

(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

$r$を実数とする．$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする．次の各問いに答えよ．

(1)$r=0$の場合に，以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ．
$(ⅰ)$ $n$が奇数のとき． \qquad $(ⅱ)$ $n$が偶数のとき．
(2)$r=5$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$b_n,\ c_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

(3)$r=4$の場合に，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき，一般項$d_n$を求めよ．
(ii) 一般項$a_n$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．

整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．