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国立 旭川医科大学 2014年 第3問$a$を正の定数とする．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=2a$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{2}{3}\pi$である$\triangle \mathrm{ABC}$と，
\[ |2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a \]
を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$の最大値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
\[ |2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}-\overrightarrow{\mathrm{CP}}|=a \]
を満たす動点$\mathrm{P}$がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$の最大値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$が通過してできる図形の面積$S$を求めよ．
国立 旭川医科大学 2014年 第2問$\displaystyle 0<a \leqq \frac{\pi}{2}$とし，曲線$y=1-\cos x (0 \leqq x \leqq a)$を$C$とする．$0<t<a$とし，原点と$C$上の点$(t,\ 1-\cos t)$を通る直線を$\ell$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(2)$S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} (a>0)$は用いてよい．
(1)曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$t \leqq x \leqq a$の範囲で$C$と$\ell$と直線$x=a$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とおくとき，$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(2)$S_1(t)+S_2(t)$を最小とする$t$の値を$t_0$とするとき，$t_0$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle a-\frac{a^3}{3!}<\sin a<a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!} (a>0)$は用いてよい．
国立 旭川医科大学 2014年 第4問一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$2$頭の象がいる．$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に，次のルールに従って移動する．
$0<p<1$とし，象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る．象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る．象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り，移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る．$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし，$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき，$a_n$を求めよ．
$0<p<1$とし，象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る．象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり，部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る．象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき，部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り，移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る．$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない．
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし，$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき，$a_n$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2014年 第4問$a$を正の定数とする．関数$f(x)$は
\[ f(x)=2 \cos x-a \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin x \, dt \]
を満たしているとする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, dx=-\frac{\pi}{2}$を満たす定数$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値のとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \int_0^{\pi} |f(x)| \, dx$の値を求めよ．
\[ f(x)=2 \cos x-a \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin x \, dt \]
を満たしているとする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) \sin x \, dx=-\frac{\pi}{2}$を満たす定数$a$の値を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値のとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $0 \leqq x \leqq \pi$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \int_0^{\pi} |f(x)| \, dx$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2014年 第1問$a$を$\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$を満たす定数とする．$2$つの曲線
\[ y=\sin x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq a \right),\quad y=\cos x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と$2$つの直線$x=a$，$y=0$で囲まれる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$D$の面積$S$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ y=\sin x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq a \right),\quad y=\cos x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と$2$つの直線$x=a$，$y=0$で囲まれる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$D$の面積$S$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 佐賀大学 2014年 第4問$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)$t=\cos \theta$とおいて，$x$と$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(3)曲線$C$の概形を描け．
(1)$t=\cos \theta$とおいて，$x$と$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(3)曲線$C$の概形を描け．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 福岡教育大学 2014年 第4問$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{a}$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．
(1)点$\displaystyle \left( 0,\ 1-\frac{1}{a} \right)$から曲線$C$に引いた接線の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた接線と曲線$C$と$x$軸によって囲まれた部分のうち第$1$象限の部分の面積を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$が曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致しているとき，曲線$C$と曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\displaystyle \left( 0,\ 1-\frac{1}{a} \right)$から曲線$C$に引いた接線の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた接線と曲線$C$と$x$軸によって囲まれた部分のうち第$1$象限の部分の面積を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$が曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と共有点をもち，その点における$2$つの曲線の接線が一致しているとき，曲線$C$と曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{2e}$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 佐賀大学 2014年 第2問$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．