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国立 岩手大学 2014年 第2問一辺の長さが$a$である正四面体の体積が$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$のとき，次の問いに答えよ．
(1)底面の面積を$a$で表せ．
(2)正四面体の高さを$a$で表せ．
(3)$a$の値を求めよ．
(1)底面の面積を$a$で表せ．
(2)正四面体の高さを$a$で表せ．
(3)$a$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第4問次のように定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-3a_n$で定義するとき，一般項$b_n$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle x \neq \frac{1}{3}$のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-3a_n$で定義するとき，一般項$b_n$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle x \neq \frac{1}{3}$のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1}$を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
国立 岩手大学 2014年 第4問連続な関数$f(x)$が以下の関係式を満たすとき，次の問いに答えよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=2 \sin x-x+b \]
ただし，$a,\ b$は定数であり，$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$である．
(1)$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_\pi^{\frac{3}{2}\pi} \{f(x)\}^3 \, dx$を求めよ．
\[ \int_a^x (x-t)f(t) \, dt=2 \sin x-x+b \]
ただし，$a,\ b$は定数であり，$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$である．
(1)$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_\pi^{\frac{3}{2}\pi} \{f(x)\}^3 \, dx$を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2014年 第2問関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=-7+k \int_0^6 |x-u| \, du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．
(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．
(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．
国立 帯広畜産大学 2014年 第1問$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とし，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} & -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} \\
1 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\alpha^n \\
\beta^n
\end{array} \right) \]
によって数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定義する．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)次の各問に答えなさい．
(i) $\alpha,\ \beta$の値を求めなさい．
(ii) $a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めなさい．
(iii) $b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めなさい．
(2)ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,\ b_1)$，$\overrightarrow{q}=(a_2,\ b_2)$，$\overrightarrow{r}=(a_3,\ b_3)$と定義する．
(i) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$，$|\overrightarrow{r}|$を求めなさい．
(ii) $\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について，$\cos \theta$，$\sin \theta$，$\tan \theta$を求めなさい．
(iii) $\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について，$\cos 2\theta$，$\sin 2\theta$，$\tan 2\theta$を求めなさい．
(3)自然数$n$について，$a_{n+1} \geqq a_n$，$b_{n+1} \geqq b_n$がそれぞれ成り立つ．
(i) $\displaystyle \log_{10}a_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．
(ii) $\displaystyle \log_{10}b_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．
(iii) $\log_{10}(a_nb_n) \leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい．
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} & -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5} \\
1 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\alpha^n \\
\beta^n
\end{array} \right) \]
によって数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定義する．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)次の各問に答えなさい．
(i) $\alpha,\ \beta$の値を求めなさい．
(ii) $a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めなさい．
(iii) $b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めなさい．
(2)ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a_1,\ b_1)$，$\overrightarrow{q}=(a_2,\ b_2)$，$\overrightarrow{r}=(a_3,\ b_3)$と定義する．
(i) $\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q},\ \overrightarrow{r}$の大きさ$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$，$|\overrightarrow{r}|$を求めなさい．
(ii) $\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角$\theta$について，$\cos \theta$，$\sin \theta$，$\tan \theta$を求めなさい．
(iii) $\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{r}$のなす角$\theta$について，$\cos 2\theta$，$\sin 2\theta$，$\tan 2\theta$を求めなさい．
(3)自然数$n$について，$a_{n+1} \geqq a_n$，$b_{n+1} \geqq b_n$がそれぞれ成り立つ．
(i) $\displaystyle \log_{10}a_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．
(ii) $\displaystyle \log_{10}b_n \leqq \frac{1}{3}$を満たす$n$をすべて求めなさい．
(iii) $\log_{10}(a_nb_n) \leqq 1$を満たす$n$をすべて求めなさい．
国立 長岡技術科学大学 2014年 第3問平面上の原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とし，点$\mathrm{A}(2,\ 0)$をとる．また，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$に対して$\angle \mathrm{AOP}=\theta$，$\angle \mathrm{APO}=\phi$，$\mathrm{AP}=z$とおく．ただし，$0<\theta<\pi$とする．下の問いに答えなさい．
(1)正弦定理を用いて$z$を$\theta$と$\phi$で表しなさい．
(2)余弦定理を用いて$z^2$を$\theta$で表しなさい．
(3)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$を$\phi$で表しなさい．
(4)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$の最大値，およびその最大値を与える$\theta$の値を求めなさい．
(1)正弦定理を用いて$z$を$\theta$と$\phi$で表しなさい．
(2)余弦定理を用いて$z^2$を$\theta$で表しなさい．
(3)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$を$\phi$で表しなさい．
(4)$\displaystyle \frac{dz}{d\theta}$の最大値，およびその最大値を与える$\theta$の値を求めなさい．
国立 長岡技術科学大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x},\ x>0$を考える．下の問いに答えなさい．
(1)$f(x)$の最大値，およびその最大値を与える$x$の値を求めなさい．
(2)$(1)$の結果を利用して$e^3>3^e$であることを証明しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$f(x)$の最大値，およびその最大値を与える$x$の値を求めなさい．
(2)$(1)$の結果を利用して$e^3>3^e$であることを証明しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 東京医科歯科大学 2014年 第3問$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]
国立 東京医科歯科大学 2014年 第2問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し，$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(-\cos \theta,\ -\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\cos \theta,\ -\sin \theta)$，$\mathrm{D}(-\cos \theta,\ \cos \theta,\ -\sin \theta)$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta)$，この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta)$とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ．
(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ．