$r$を$r>1$である実数とし，数列$\{a_n\}$を次で定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+r^2}{a_n+1} \]
以下の問いに答えよ．

(1)$n$が奇数のとき$a_n<r$，$n$が偶数のとき$a_n>r$であることを示せ．
(2)任意の自然数$n$について，$a_{n+2}-r$を$a_n$と$r$を用いて表せ．
(3)任意の自然数$n$について，次の不等式を示せ．
\[ \frac{a_{2n+2}-r}{a_{2n}-r}<\left( \frac{r-1}{r+1} \right)^2 \]
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{2n+1}$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \angle \mathrm{BAC}=\theta,\quad \mathrm{AB}=\sin \theta,\quad \mathrm{AC}=|\cos \theta| \]
とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$または$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}^2$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\int_0^1 \frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2} \, dx$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，不等式
\[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \]
が成り立つことを示せ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ．

(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ．

(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{e^x+e^{-x}}$のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．

(1)$C$の変曲点のうち，$x$座標が最大となる点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$とするとき，
\[ \tan \theta=e^b \]
をみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$\tan 2\theta$および$\theta$の値を求めよ．
(3)上の$b$に対する直線$x=b$と$x$軸，$y$軸および$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

行列
\[ P=\left( \begin{array}{cc}
x & \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3} & y
\end{array} \right) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$P^2=P$をみたす実数の組$(x,\ y)$は$2$組ある．これらを求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$つの組を$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とし，それぞれに対応する行列$P$を$P_1$，$P_2$とおく．ただし，$x_1<x_2$とする．このとき，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ (P_1P_2)^nP_1=r_nP_1 \]
をみたす実数$r_n$を求めよ．
(3)重複を許して$P_1$，$P_2$を$6$個並べて得られる順列
\[ Q_1 \quad Q_2 \quad Q_3 \quad Q_4 \quad Q_5 \quad Q_6 \]
のうちで$Q_1=P_1$となるものすべてを考え，それぞれの順列に$6$個の行列の積$P_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6$を対応させる．このようにして得られる行列のうち，異なるものはいくつあるか．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1+2a_2+3a_3+\cdots +na_n=2^n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とおくとき，
\[ S_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{a_k}$を求めよ．

平面上のベクトル
\[ \overrightarrow{a_n}=\left( \cos \frac{n\pi}{4},\ \sin \frac{n\pi}{4} \right), \overrightarrow{b_n}=\left( 2 \cos \frac{n\pi}{6},\ 2 \sin \frac{n\pi}{6} \right) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 12) \]
に対して，$\displaystyle \sum_{n=0}^{12} |\overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}|^2$を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$の焦点を$\mathrm{F}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime(-a,\ 0)$とおく．ただし，$a>0$とする．また，$C$上の点$\mathrm{P}(b,\ c)$に対して，$\angle \mathrm{FPF}^\prime$の二等分線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$bc \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}:\mathrm{FP}=\mathrm{F}^\prime \mathrm{Q}:\mathrm{FQ}$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{FQ}}{\mathrm{FP}}$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の傾きは$\displaystyle \frac{4c}{b}$であることを示せ．

座標平面において，$C:y=e^{-x} (x>0)$上の点$(a,\ e^{-a})$の接線を$L$とおき，$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とし，$y$軸，$L$，$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．

(1)$S_1,\ S_2$をそれぞれ求めよ．
(2)$a>0$のとき，$(a-1)e^a+1>0$であることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$a$の関数とみたとき，区間$(0,\ \infty)$で単調に増加することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=2 \cos x-\cos 2x$の$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=(\log_{0.5}x)^2-\frac{1}{2}(\log_{0.5}x)+\frac{1}{2}$の$0.5 \leqq x \leqq 2$における最大値と最小値を求めよ．