関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2 \cos x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．

(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．

関数$f(x)=x^x (x>0)$と正の実数$a$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$f(x)f(1-x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$\displaystyle \frac{f(x)f(1-x)f(a)}{f(ax)f(a(1-x))}$の最小値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$t>0$のとき
\[ e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(2)座標平面上の点$(0,\ a)$を通って曲線$y=xe^x$に何本の接線が引けるか求めよ．

自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．

(1)各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して
\[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \]
と表されることを示せ．
(2)$n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数$m,\ n (m<n)$に対して，和
\[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．

数列$\{a_n\}$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=1 \\
a_{n+1}-a_n=a_n(5-a_{n+1}) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \right. \]
を満たしているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n$に関する数学的帰納法で，$a_n>0$であることを証明せよ．

(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)$a_n$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{PC}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{OQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$m>0$，$n>0$とする．さらに直線$\mathrm{AR}$が平面$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおいて以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$m$，$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RS}}$を$m,\ n$を用いて表せ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が続けて試合を行い，先に$3$勝した方が優勝するというゲームを考える．$1$試合ごとに$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q$，引き分ける確率を$1-p-q$とする．

(1)$3$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(2)$5$試合目で優勝が決まる確率を求めよ．
(3)$\displaystyle p=q=\frac{1}{3}$としたとき，$5$試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率を求めよ．
(4)$\displaystyle p=q=\frac{1}{2}$としたとき，優勝が決まるまでに行われる試合数の期待値を求めよ．

$\displaystyle x=t+\frac{1}{3t} \left( 0<t \leqq \frac{1}{2} \right)$とする．

(1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x$の方程式$x^2+ax+b=0$が$(1)$の範囲に少なくとも$1$つの解をもつような点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．

整数$n$に対して，
\[ I_n=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ((2n+1)x)}{\sin x} \, dx \]
とする．

(1)$I_0$を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$I_n-I_{n-1}$を求めよ．
(3)$I_5$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数，$a$を正の定数として，
\[ f(x)=(n+1) \{ \log (a+x)-\log (n+1) \}-n(\log a-\log n)-\log x \]
とおく．$x>0$における関数$f(x)$の極値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
(2)$n$が$2$以上の自然数のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k+1}{k}>(n+1)^{\frac{1}{n}} \]