次の問いに答えよ．

(1)$\cos x+\cos y \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y}{2}=\frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)$\cos x+\cos y+\cos z \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y,\ z$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y+z}{3}=\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\cos x+\cos y+\cos z} \]
は成り立つか．成り立つときは証明し，成り立たないときは反例を挙げよ．

$3$以上の奇数$n$に対して，$a_n$と$b_n$を次のように定める．
\[ a_n=\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n-1} (k-1)k(k+1),\quad b_n=\frac{n^2-1}{8} \]

(1)$a_n$と$b_n$はどちらも整数であることを示せ．
(2)$a_n-b_n$は$4$の倍数であることを示せ．

$a>1$とし，次の不等式を考える．
\[ (*) \quad \frac{e^t-1}{t} \geqq e^{\frac{t}{a}}\]

(1)$a=2$のとき，すべての$t>0$に対して上の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．
(2)すべての$t>0$に対して上の不等式$(*)$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え，$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする．$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする．このとき，$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$x_k$を$k$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ．

$\alpha>1$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\alpha,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(1)$a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)$\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし，} x \geqq 0 \text{とする．})$

(3)$\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

関数$f_0(x)$，$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，$f_4(x)$は，$n=0,\ 1,\ 2,\ 3$に対して，$f_n(0)$が$0$に一致しないときか一致するときかという場合に応じて$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$から定める関係式
\[ f_{n+1}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x) & (f_n(0) \neq 0) \\ \\
\displaystyle \int_0^x f_n(t) \, dt+1 & (f_n(0)=0)
\end{array} \right. \]
をみたしているとする．

(1)$f_0(x)=x$のとき，$f_4(x)$を求めよ．
(2)$f_1(x)=0$ならば，$f_0(x)$は定数であることを証明せよ．
(3)$f_2(x)=0$ならば，$f_0(x)=ax+b$（$a,\ b$は定数）と表されることを証明せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$とするとき，次の等式が成り立つとする．
\[ \frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{3} \]
また，$A,\ B,\ C$のうち最も大きな角は$120^\circ$であるとする．このとき，$\cos A$，$\cos B$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

$n,\ m$を$0$以上の整数とし，
\[ I_{n,m}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n \theta \sin^m \theta \, d\theta \]
とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$のとき，$I_{n,m}$を$I_{n-2,m+2}$を使って表せ．
(2)次の式
\[ I_{2n+1,2m+1}=\frac{1}{2} \int_0^1 x^n(1-x)^m \, dx \]
を示せ．
(3)次の式
\[ \frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+\cdots +(-1)^m \frac{\comb{m}{m}}{n+m+1} \]
を示せ．ただし$0!=1$とする．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．