負でない整数$N$が与えられたとき，$a_1=N$，$\displaystyle a_{n+1}=\left[ \frac{a_n}{2} \right] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし$[a]$は，実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を表す．

(1)$a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2)$0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3)$0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(*)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(*)$ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．

四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90^\circ$をみたす．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$，$\displaystyle pq=\frac{1}{2}$となるようにとる．$p+q=t$とし，$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$S$を$t$で表せ．
(3)$S$の最小値，およびそのときの$p,\ q$を求めよ．

逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち，
\[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \]
が成立することを示せ．
(2)$B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．

$\alpha>1$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\alpha,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{2a_n}{a_n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の不等式が成り立つことを証明せよ．

(1)$a_n>1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(2)$\displaystyle \sqrt{x}-1 \leqq \frac{1}{2}(x-1) \quad (\text{ただし，} x>1 \text{とする．})$

(3)$\displaystyle a_n-1 \leqq \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}(\alpha-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$t>0$において定義された関数$f(t)$は次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $t>0$のとき，すべての実数$x$に対して不等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t) \geqq 1+x \]
が成り立つ．
\mon[（イ）] $t>0$に対して，等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x \]
を満たす実数$x$が存在する．
このとき，$f(t)$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} |\sin \theta| \, d\theta$とおく．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．

$\displaystyle \sum_{n=1}^{40000} \frac{1}{\sqrt{n}}$の整数部分を求めよ．

半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個（$n \geqq 3$）の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり，次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $T_i$は$S_1$，$S_2$にそれぞれ$1$点で接している（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
\mon[（イ）] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$），そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし，$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき，極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ．

さいころを繰り返し投げ，$n$回目に出た目を$X_n$とする．$n$回目までに出た目の積$X_1X_2 \cdots X_n$を$T_n$で表す．$T_n$を$5$で割った余りが$1$である確率を$p_n$とし，余りが$2,\ 3,\ 4$のいずれかである確率を$q_n$とする．

(1)$p_n+q_n$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$と$n$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle r_n=\left( \frac{6}{5} \right)^n p_n$とおいて$r_n$を求めることにより，$p_n$を$n$の式で表せ．