「分数」について
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国立 静岡大学 2014年 第3問$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．
国立 静岡大学 2014年 第4問$\alpha$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第1問$a_1=3$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>2$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-2}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1)すべての自然数$n$に対し，$a_n>2$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-2}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする．曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$，$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t)) (t>0)$をとり，点$\mathrm{P}$における接線と法線，および，点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする．
(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1$，$d_2$とおく．$d_1$，$d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1$，$d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1$，$d_2$とおく．$d_1$，$d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1$，$d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．
国立 静岡大学 2014年 第4問$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする．次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する．$a_1=0$とし，第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば，第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める．そうでないならば，$a_{n+1}=0$と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し，$a_2$を$p$を用いて表せ．
(2)$k$を自然数とする．関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば，関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ．
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ．
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ．
国立 埼玉大学 2014年 第4問$xy$平面上で，媒介変数$\theta$により
\[ x=\sqrt{\cos 2\theta} \cos \theta,\quad y=\sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \quad \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を$(p,\ q)$とする．$(p,\ q)$を求めよ．
(2)曲線$C$で囲まれた図形のうち$x \geqq p$の部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(1)$で求めた$x$座標である．
\[ x=\sqrt{\cos 2\theta} \cos \theta,\quad y=\sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \quad \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．
(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を$(p,\ q)$とする．$(p,\ q)$を求めよ．
(2)曲線$C$で囲まれた図形のうち$x \geqq p$の部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(1)$で求めた$x$座標である．
国立 埼玉大学 2014年 第2問直角三角形でない三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対応する角の大きさを$A$，$B$，$C$で表すことにする．このとき，次の$3$つの等式が成り立つことを証明せよ．
(1)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}=1-\frac{1}{\tan B \tan C}$
(2)$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$
(3)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$
(1)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}=1-\frac{1}{\tan B \tan C}$
(2)$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$
(3)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$
国立 名古屋大学 2014年 第1問原点を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0)$をとる．ただし$a>1$とする．$\mathrm{P}$から$C$へ引いた$2$本の接線の接点を結ぶ直線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$が$C$上にあるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QR}}$が$\mathrm{R}$によらず一定であることを示し，その値を$a$を用いて表せ．
(3)$C$上の点$\mathrm{R}$が$\angle \mathrm{PRQ}=90^\circ$をみたすとする．このような$\mathrm{R}$の座標と線分$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．
国立 一橋大学 2014年 第3問円$C:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を通り$\ell$と平行な直線を$m$とする．直線$m$と円$C$の$(1,\ 0)$以外の共有点を$\mathrm{P}^\prime$とする．ただし，$m$が直線$x=1$のときは$\mathrm{P}^\prime$を$(1,\ 0)$とする．
円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．
(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．
円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．
(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．
国立 名古屋大学 2014年 第3問$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．
(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．
(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．
(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．
(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．
(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．
(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．