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公立 岐阜薬科大学 2015年 第5問次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(2)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(2)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$が$\displaystyle \frac{a_n-3a_{n+1}}{4(n+1)}=a_na_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されている．ただし，初項$a_1=1$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_n \neq 0$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$a_n \neq 0$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -1,\ \frac{1}{2} \right)$および放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m$は正である．次の問いに答えよ．
(1)$C$と$\ell$の交点の座標を$m$で表せ．
(2)第$2$象限において$C$，$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=18$となる$m$に対し，$\displaystyle \frac{n}{10}<m<\frac{n+1}{10}$を満たす自然数$n$を求めよ．
(1)$C$と$\ell$の交点の座標を$m$で表せ．
(2)第$2$象限において$C$，$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=18$となる$m$に対し，$\displaystyle \frac{n}{10}<m<\frac{n+1}{10}$を満たす自然数$n$を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問図$1$～$3$のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で上，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$が$\displaystyle \frac{a_n-3a_{n+1}}{4(n+1)}=a_na_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されている．ただし，初項$a_1=1$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_n \neq 0$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$a_n \neq 0$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問図$1$～$3$のような網目状の道があり，頂点$\mathrm{O}$を出発点とし，各頂点においてそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で上，または右斜め下に進む．ただし，右斜め下に道がない場合は必ず上に，上に道がない場合は必ず右斜め下に進み，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれかに到達したら停止する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
（図は省略）
(1)図$1$において，各頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に到達する確率$P_{\mathrm{A}},\ P_{\mathrm{B}},\ P_{\mathrm{C}}$を求めよ．
(2)図$2$において，$\mathrm{C}_1,\ \mathrm{C}_2$をともに通過して$\mathrm{C}$に到達する確率を求めよ．
(3) 図$2$において，$\mathrm{B}_1,\ \mathrm{B}_2$をともに通過して$\mathrm{B}$に到達する確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -1,\ \frac{1}{2} \right)$および放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．点$\mathrm{A}$を通る傾き$m$の直線を$\ell$とする．ただし，$m$は正である．次の問いに答えよ．
(1)$C$と$\ell$の交点の座標を$m$で表せ．
(2)第$2$象限において$C$，$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=18$となる$m$に対し，$\displaystyle \frac{n}{10}<m<\frac{n+1}{10}$を満たす自然数$n$を求めよ．
(1)$C$と$\ell$の交点の座標を$m$で表せ．
(2)第$2$象限において$C$，$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積$S(m)$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(m)$とする．$\displaystyle \frac{T(m)}{mS(m)}=18$となる$m$に対し，$\displaystyle \frac{n}{10}<m<\frac{n+1}{10}$を満たす自然数$n$を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第2問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{4}} |2 \cos^2 t+2 \sin t \cos t-1| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)積分を計算して，$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．