関数
\[ f(x)=\sqrt{2} \sin x-\sqrt{2} \cos x-\sin 2x \]
に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle t=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表しなさい．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=a$が$0 \leqq x<2\pi$の範囲で相異なる$2$つの解をもつための実数$a$の条件を求めなさい．

座標平面において曲線$\displaystyle y=\frac{3}{x^2+3}$を$C_1$，曲線$y=x^2+k$（$k$は定数）を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)定数$k$の値を求めなさい．また，$C_1$と$C_2$のすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めなさい．

$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回投げた時点で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_2$を求めよ．
(2)$P_3$を求めよ．
(3)$P_4$を求めよ．
(4)$\displaystyle P_5<\frac{1}{2}$であることを示せ．

$a>0$，$b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_2,\ P_3,\ P_4$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$および$P_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(3)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle \frac{P_n}{2} \leqq P_{n+1} \leqq P_n$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=\frac{a_n}{n+1}+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和を求めよ．

次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int \log (x+1) \, dx$

(2)$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$

(3)$\displaystyle \int_0^3 \frac{|x-1| \cdot |x-2|-x^2}{x+1} \, dx$

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=10,\quad b_1=24,\quad a_{n+1}=2a_n-8,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+6 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)$3$辺の長さが，それぞれ$a_2,\ b_2,\ 6$である三角形は存在しないことを示せ．
(3)$3$辺の長さが，それぞれ$a_n,\ b_n,\ 6$である三角形が存在するような$n$の値をすべて求めよ．

関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める．ただし，$0 \leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3)$n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．