次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

方程式$x^2+y^2=1$を満たしながら動く正の実数$x,\ y$がある．

(1)$\sqrt{3}x+y$のとり得る値の最大値は$[フ]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$，$\displaystyle y=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$\log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値は$[$*$ム]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[メ]}}{[モ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヤ]}}{[ユ]}$である．
(3)$\displaystyle \log_3 x+\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{y}$のとり得る値の最大値は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \log_3 [リ]+\frac{[$*$ル]}{[レ]} \right)$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ロ]}}{[ワ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヲ]}}{[ン]}$である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

$y=x^3-2x$の表す曲線$C$がある．

(1)$\alpha \neq 0$のとき，$C$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^3-2 \alpha)$における接線$\ell$の方程式は
\[ y=([$*$あ] \alpha^2+[$*$い])x+[$*$う] \alpha^3 \]
である．
(2)$\ell$が再び$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[$*$え] \alpha$であり，線分$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[おか]}{[き]} \alpha^4$である．
(3)$\alpha>0$，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とするとき，$\displaystyle \frac{L^2}{\alpha^2}$が最小になるのは$\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$のときである．
(4)原点を除く直線$y=[$*$こ]x$上の点からは，$C$への接線がちょうど$2$本引ける．

$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で表される曲線がある．ただし$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．

(1)$y$を$x$で表すと$y=[$4$]$となる．
(2)曲線と$x$軸とで囲まれた部分の面積は$[$5$]$である．

次の式を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle \frac{x^2}{x-2}-\frac{4}{x-2}-1$

(2)$\log_{64}4$

$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$のグラフを$x$軸上の$2$点$(1,\ 0)$と$(2,\ 0)$を通るように平行移動した．

(1)平行移動後の$2$次関数を求めなさい．
(2)$2$次関数$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$のグラフを$x$軸方向および$y$軸方向にどれだけ平行移動したか求めなさい．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，関数$F_n(x)$を
\[ F_1(x)=\frac{1}{1+x},\quad F_{n+1}(x)=\frac{1}{1+F_n(x)} \]
で定義する．

(1)$F_3(x)$を求めると，$[$11$]$である．次に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，数列$\{p_n\}$を
\[ p_1=1,\quad p_2=1,\quad p_{n+2}=p_{n+1}+p_n \]
で定義する．
(2)$\displaystyle F_n(x)=\frac{a_n+b_n x}{c_n+d_n x}$で与えられるとき，$n \geqq 2$に対して$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を数列$\{p_n\}$を用いて表すと$(a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n)=[$12$]$である．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$が存在することを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}F_n(0)$の値を求めると$[$13$]$である．

以下の各問に答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）

以下の各問いに答えなさい．

(1)次の式を展開しなさい．

(i) $(x-1)(x-2)(x+2)(x+1)$
(ii) $(x+3)^2(x-3)^2$

(2)$m+n=1$となる整数$m$と自然数$n$の組み合わせを次の$\zenkakkoa$～$\zenkakkoki$からすべて選びなさい．
$\zenkakkoa m=1,\ n=0$ \qquad $\zenkakkoi m=0,\ n=1$ \qquad $\zenkakkou m=3,\ n=-2$
$\displaystyle \zenkakkoe m=-0.5,\ n=1.5$ \qquad $\displaystyle \zenkakkoo m=\frac{3}{5},\ n=\frac{2}{5}$ \qquad $\zenkakkoka m=-\sqrt{1},\ n=\sqrt{4}$
$\zenkakkoki m=-5,\ n=6$

(3)$\displaystyle -\frac{4x-1}{3} \leqq x+1$を解きなさい．

(4)$|x+6|>3x$を解きなさい．

座標平面において楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする．この長方形の面積$S(m)$を求めなさい．
(3)$m$がすべての実数を動くとき，$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{O}$の$7$点から異なる$3$点を同時に選ぶとき，以下の問いに答えなさい．

(1)選んだ$3$点が一直線上に並ぶ確率を求めなさい．
(2)選んだ$3$点を結ぶと正三角形ができる確率を求めなさい．
(3)選んだ$3$点を結ぶと面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$より大きい三角形ができる確率を求めなさい．