等式
\[ 3^{3x-1}=\sqrt{27} \]
を満たす$x$の値は$\displaystyle x=\frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

曲線$y=x^3-2x^2-3x$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[ホ][マ]}{[ミ]}$である．

$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+3},\ y=\frac{2}{\sqrt{3}-3}$のとき
\[ x-y=[ア],\ xy=-\frac{[イ]}{[ウ]},\ x^2+y^2=\frac{[エ]}{[オ]} \]
となる．

$2$直線$y=3x-2$，$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+2$のなす角$\theta$は$\theta={[チ][ツ]}^\circ$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．

$x=2+3i,\ y=2-i$のとき，$xy=[テ]+[ト]i$，$\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{[ナ]+[ニ]i}{[ヌ]}$となる．

$a_1=2$，$a_2=3$，$a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n$で与えられる数列$\{a_n\}$の一般項を求めると
\[ a_n=\frac{[シ] \cdot {[ス]}^{n-1}+[セ] \cdot {\left( -[ソ] \right)}^{n-1}}{[タ]} \]
である．

$a,\ b$が実数であるとする．次の$2$つの$2$次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad ax^2+bx+1=0 \]
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
\[ \frac{-[ネ] \pm \sqrt{[ノ]}i}{2} \]
となる．

放物線$y=x^2-x$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{6} \int_0^3 x^2f(t) \, dt-\frac{1}{12} \int_{-3}^0 xf(t) \, dt-2$に対して，$2$つの曲線$C_1:y=x^2+1$，$C_2:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)=px^2+qx-2$とすると，$p=[ナ][ニ]$，$q=[ヌ]$である．
(2)点$(a,\ f(a))$（ただし，$a>1$とする）における曲線$C_2$の接線$\ell$と曲線$C_1$との異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点が$(-1,\ b)$のとき，$b=[ネ]$であり，$\ell$の方程式は$y=[ノ][ハ]x+[ヒ]$である．
(3)$(2)$で求めた接線$\ell$と曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$である．

$a=1+\sqrt{6}+\sqrt{7},\ b=1-\sqrt{6}+\sqrt{7}$のとき，次の値を求めよ．


(1)$ab=[　]$

(2)$\displaystyle \frac{1}{a}=[　]$

(3)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=[　]$

(4)$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}=[　]$