座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:5$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$t$は$\displaystyle 0<t<\frac{1}{3}$の範囲にある実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$3t:1-3t$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\triangle \mathrm{OAH}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$k$倍となるとき，$k$を$t$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$は正三角形とする．線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{BF}$が直角に交わるとき$t$の値を求めよ．

赤玉$6$個と白玉$3$個が入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出すとき，取り出した玉が，

(1)$3$個とも赤玉である確率は，$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．

(2)$2$個だけ同じ色である確率は，$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

$1$個のさいころを続けて$3$回投げる．

(i) 出る目の数がすべて異なる確率を考える．出る目の数がすべて異なる場合は$[カ][キ][ク]$通りであることから，出る目の数がすべて異なる確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(ii) 出る目の数の積が偶数になる確率を考える．$1$回も偶数が出ない場合は$[サ][シ]$通りであり，また，$1$回でも偶数が出ると積は偶数になる．これより，出る目の数の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

数列
\[ 2 \cdot 3,\ 5 \cdot 5,\ 8 \cdot 7,\ 11 \cdot 9,\ \cdots,\ a_n \cdot b_n,\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めることを考える．このとき，この数列の第$n$項$a_n \cdot b_n$が
\[ a_n \cdot b_n=\left( [ソ]n-[タ] \right) \cdot \left( [チ]n+[ツ] \right) \]
と表されるので，
\[ S_n=\frac{1}{2}n \left( [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \right) \]
を得る．

以下の$(1)$～$(4)$の$[$1$]$～$[$4$]$に適切な値を答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$A=e^2$とするとき，
\[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=[$1$] \]
である．
(2)$b$を正の定数，$x$を正の実数とする．方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<[$2$]$のときである．
(3)数列$\{c_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，初項$1$，公差$2$の等差数列とする．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$，$U_n=e^{T_n}$と定義する．数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$[$3$]$となる．

(4)定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$[$4$]$である．ただし，$D=\log_e 3$とする．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 1)$，$\mathrm{P}_2(1,\ 2)$があり，以下の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$をすべて満たすように$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$，$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$，$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\cdots$を定めるものとする．

$(ⅰ)$ $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n}|=\frac{1}{3} |\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1}}| \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $\displaystyle \angle \mathrm{P}_{n-2} \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{\pi}{4} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
$(ⅲ)$ $x_n \geqq x_{n-1} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4}$を成分で表しなさい．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k-1} \mathrm{P}_{2k}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{P}_{2k} \mathrm{P}_{2k+1}} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の成分を$k$を用いた式で表しなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=X$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=Y$とおく．このとき$n$を限りなく大きくすると，点$\mathrm{P}_n$は点$\mathrm{P}(X,\ Y)$に限りなく近づいていく．$X,\ Y$を求めなさい．

三角形$\mathrm{ABC}$は$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=2\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たすものとする．

三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$\mathrm{O}_1$とし，その半径を$a$とする．また，円$\mathrm{O}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$より半径が短く，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$，円$\mathrm{O}_n$に接する円を$\mathrm{O}_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，円周率は$\pi$を用いるものとする．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}


(1)三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$L$を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．ただし，$L=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$である．
(2)円$\mathrm{O}_n$の周の長さを$W_n$で表すとき，
\[ W=\sum_{n=1}^\infty W_n \]
を$a$と$\theta$を用いて表しなさい．
(3)$L=W$が成り立つとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値をそれぞれ求めなさい．

\end{mawarikomi}

式$\displaystyle \frac{(2xy^2)^3}{(5x^3y)^2}$を約分して簡単にすると，$\displaystyle \frac{[ニ]y^{\mkakko{ヌ}}}{[ネ][ノ]x^{\mkakko{ハ}}}$となる．

角$\theta$は鈍角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$のとき，$\displaystyle \frac{6 \tan \theta+5}{5 \cos \theta+2}$の値は$[ヒ]$である．