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私立 西南学院大学 2015年 第2問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(1)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}<\beta<\pi$とする．$\displaystyle \cos \alpha=\frac{2}{3},\ \sin \beta=\frac{4}{5}$のとき，
\[ \sin (\alpha-\beta)=-\frac{\mkakko{ケ}+\mkakko{コ} \sqrt{\mkakko{サ}}}{15},\quad \cos (\alpha+\beta)=-\frac{\mkakko{シ}+\mkakko{ス} \sqrt{\mkakko{セ}}}{15} \]
である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とするとき，関数
\[ f(\theta)=\sin \theta+\sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+\sin \left( \theta+\frac{2}{3}\pi \right) \]
の最大値は$[ソ]$，最小値は$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
私立 西南学院大学 2015年 第4問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{BG}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{P}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
である．
また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{DQ}:\mathrm{QC}=[フ]:[ヘ] \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
である．
また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{DQ}:\mathrm{QC}=[フ]:[ヘ] \]
である．
私立 西南学院大学 2015年 第3問$k$は実数の定数とする．$0 \leqq x<2\pi$のとき，$x$の方程式
\[ \cos x-\sin^2 x+1-\frac{k}{4}=0 \]
について，以下の問に答えよ．
(1)方程式が解をもつのは，$k$が$[ソタ] \leqq k \leqq [チ]$のときである．
(2)$k=3$のとき，方程式の解は小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]} \pi,\ \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
(3)$-1<k<0$のとき，方程式の解の個数は$[ニ]$個である．
\[ \cos x-\sin^2 x+1-\frac{k}{4}=0 \]
について，以下の問に答えよ．
(1)方程式が解をもつのは，$k$が$[ソタ] \leqq k \leqq [チ]$のときである．
(2)$k=3$のとき，方程式の解は小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]} \pi,\ \frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
(3)$-1<k<0$のとき，方程式の解の個数は$[ニ]$個である．
私立 西南学院大学 2015年 第3問以下の問に答えよ．
(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の$1$～$6$の選択肢のうち，$[ツ]$が成立する．
\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$
(2)$a>b>1$のとき，$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば，$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる．
(1)$\sqrt{2},\ \sqrt[3]{3},\ \sqrt[6]{6}$の大小関係について，以下の$1$～$6$の選択肢のうち，$[ツ]$が成立する．
\mon[$1$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$2$ \quad] $\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$3$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}<\sqrt[6]{6}$
\mon[$4$ \quad] $\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}$
\mon[$5$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
\mon[$6$ \quad] $\sqrt[6]{6}<\sqrt[3]{3}<\sqrt{2}$
(2)$a>b>1$のとき，$\displaystyle \log_a b-\log_b a=-\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ならば，$\displaystyle \log_a b+\log_b a=\frac{[テ]}{[ト]}$である．
(3)$\displaystyle y=\log_8 (1+x^2)-\frac{1}{3} \log_2 x$は$x=[ナ]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$をとる．
私立 西南学院大学 2015年 第6問原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$を通る直線を$\ell$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると，直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して，
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると，直線$m$のベクトル方程式は，実数$k$に対して，
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ．
また，$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき，式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ．
(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると，直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して，
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると，直線$m$のベクトル方程式は，実数$k$に対して，
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ．
また，$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき，式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ．
私立 大阪工業大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{{(\log x)}^2-3}{x} (x>0)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$\log x=t$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_a^{e^3} f(x) \, dx=0$となるような正の数$a$をすべて求めよ．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$\log x=t$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_a^{e^3} f(x) \, dx=0$となるような正の数$a$をすべて求めよ．
私立 中部大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．
(1)すべての自然数$k$に対して，
\[ \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}+\frac{c}{k+2} \]
が成り立つように，定数$a,\ b,\ c$の値を決定せよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k+6}{k^3+3k^2+2k}$を求めよ．
私立 京都産業大学 2015年 第2問$a$を$0$以上の実数とし，
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2-ax| \, dx \]
とする．
(1)$S(2)=[ア]$である．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{1}{2} \right)=[イ]$である．
(3)$a>1$のとき，$S(a)=[ウ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$S(a)=[エ]$である．
(4)$S(a)$は$a=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2-ax| \, dx \]
とする．
(1)$S(2)=[ア]$である．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{1}{2} \right)=[イ]$である．
(3)$a>1$のとき，$S(a)=[ウ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$のとき，$S(a)=[エ]$である．
(4)$S(a)$は$a=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる．
私立 広島文化学園大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．
(1)$(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$を展開せよ．
(2)$x^2-4ax-5a^2$を因数分解せよ．
(3)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}+2},\ y=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$のとき，式$x^2+y^2$の値を求めよ．
(4)$|3x+1| \geqq 2$を解け．
(5)集合$A$を$1$から$12$までの自然数の集合，集合$B$を素数全体の集合とするとき，$A \cap B$の要素を書き並べて表せ．
(6)次の$[ ]$にあてはまるものとして，「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち，最も適切なものを選べ．
$x^2=16$は$x=4$であるための$[ ]$．
(7)$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{\sqrt{13}}$であるとき，$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$の値を求めよ．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}={135}^\circ$，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{BC}$を求めよ．
私立 大阪工業大学 2015年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．
(1)$2$次方程式$x^2-x+k=0$が異なる$2$つの正の実数$m$と$m^2$を解にもつとき，実数$m,\ k$の値は，$m=[ア]$，$k=[イ]$である．
(2)$f(x)=2 \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos 2x$とする．このとき，$\displaystyle f(x)=2 \sin \left( 2x+[ウ] \right)$である．ただし，$0 \leqq [ウ]<2\pi$とする．また，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)$の最小値$m$は，$m=[エ]$である．
(3)$3^a=2,\ 8^b=9$のとき，$a=[オ]$であり，積$ab$の値を対数を用いずに表すと，$ab=[カ]$である．
(4)$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$4$枚のカードのうち，$3$枚を並べて$3$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[キ]$個ある．また，$\fbox{$0$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$1$}$，$\fbox{$2$}$，$\fbox{$3$}$の$5$枚のカードのうち，$4$枚を並べて$4$桁の整数をつくるとき，つくられる整数は全部で$[ク]$個ある．