次の各問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ 極限値$\displaystyle S=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3 \cdot 1}{n^2+1^2}+\frac{n+3 \cdot 2}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n+3 \cdot n}{n^2+n^2} \right)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{a+\cos x}-b}{(x-\pi)^2}=\frac{1}{8}$となるような定数$a,\ b$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．

次の問に答えよ．

(1)初項$\log_{10}5$，公差$\log_{10}3$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$a_n<4$をみたす最大の自然数$n$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x-3}{x-2}$に対し，合成関数$f(f(f(x)))$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$のグラフの$x=\pi$における接線の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(2 \cos {30}^\circ,\ 2 \sin {30}^\circ)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$は$\angle \mathrm{OBA}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$を満たす．このとき$a$の値を求めよ．ただし，$a<\sqrt{3}$とする．
(3)不等式$|x+1|-3 |x-1| \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=xe^{-2x}$に対し，$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (n+k)^2$とする．$S_n$を$n$の式で表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})} \, dx$の値を求めよ．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$18(2n-4) \leqq 48n-400$を満たす最小の自然数$n$は$n=[$1$]$である．
(2)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，


$a=[$2$]$，$b=\sqrt{[$3$]}-[$4$]$であり

$\displaystyle \frac{a}{b}=[$5$] \sqrt{[$6$]}+[$7$]$である．


(3)次の式を計算せよ．
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{[$8$]}+[$9$] \sqrt{[$10$]}}{[$11$]} \]
(4)$720$の正の約数の個数は$[$12$]$個である．

次の各問に答えよ．

(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．

放物線$y=2x^2$を平行移動して得られる放物線について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$-5$平行移動した放物線の方程式は
$y=[$18$]x^2+[$19$]x+[$20$]$である．
(2)頂点が点$(2,\ 3)$である放物線の方程式は
$y=[$21$]x^2-[$22$]x+[$23$]$である．
(3)$x$軸との交点の$x$座標が$-2$と$4$である放物線の方程式は
$y=[$24$]x^2-[$25$]x-[$26$]$である．
(4)点$\displaystyle \left( 0,\ -\frac{1}{2} \right)$を通り，頂点が直線$y=2x$上にある放物線の方程式は
$\displaystyle y=[$27$]x^2+[$28$]x-\frac{[$29$]}{[$30$]}$である．
(5)放物線の軸は直線$x=3$であり，この放物線を表す関数の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値は$5$であるとする．このとき，放物線の方程式は
$y=[$31$]x^2-[$32$]x+[$33$]$である．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=1+\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線が円$\mathrm{O}$と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{D}$とする．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$34$]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．

(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{[$37$]}}{[$38$]}$である．

(4)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[$39$] \sqrt{[$40$]}+\sqrt{[$41$]}}{[$42$]}$である．

(5)三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$43$] \sqrt{[$44$]}+[$45$] \sqrt{[$46$]}}{[$47$]}$である．
但し$[$44$]<[$46$]$とする．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$n$を自然数とする．$\displaystyle \sqrt{\frac{540}{n}}$は$n=[$48$]$のとき最大の自然数$[$49$]$になる．

(2)積が$640$，最大公約数が$8$である$2$つの自然数の和は$[$50$]$または$[$51$]$である．但し$[$50$]<[$51$]$とする．
(3)$3x+7y=49$を満たす自然数$x$と$y$の組$(x,\ y)$は$([$52$],\ [$53$])$と$([$54$],\ [$55$])$である．但し$[$52$]<[$54$]$とする．
(4)$3$進数$1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$[$56$]$である．また，$3$進数$0.1221_{(3)}$を$10$進数で表すと$\displaystyle \frac{[$57$]}{[$58$]}$である．