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私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第5問関数$\displaystyle y=\sin 2x+2 \sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\frac{5}{4}$および$u=\sin x+\cos x$について以下の各問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$u$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$u$で表せ．
(3)$y$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$u$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$u$で表せ．
(3)$y$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第2問正の整数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を
\[ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ \cdots \]
のように$1$列に並べる．ここで，$2$つの組$(a_i,\ b_i) (i=1,\ 2)$について，$a_1+b_1<a_2+b_2$ならば$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べ，また，$a_1+b_1=a_2+b_2$ならば，$a_1<a_2$のとき$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べるものとする．次の各問に答えよ．なお，必要ならば公式
\[ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \]
を使ってよい．
(1)組$(5,\ 5)$は初めから何番目にあるか．
(2)$m,\ n$を正の整数とする．組$(m,\ n)$は初めから何番目にあるか．
(3)初めから$200$番目にある組を求めよ．
(4)初めから$n$番目の組が$(a,\ b)$であるとき，$c_n=ab$とおく．和$c_1+\cdots +c_{200}$を求めよ．
\[ (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ \cdots \]
のように$1$列に並べる．ここで，$2$つの組$(a_i,\ b_i) (i=1,\ 2)$について，$a_1+b_1<a_2+b_2$ならば$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べ，また，$a_1+b_1=a_2+b_2$ならば，$a_1<a_2$のとき$(a_1,\ b_1)$の方を先に並べるものとする．次の各問に答えよ．なお，必要ならば公式
\[ \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \]
を使ってよい．
(1)組$(5,\ 5)$は初めから何番目にあるか．
(2)$m,\ n$を正の整数とする．組$(m,\ n)$は初めから何番目にあるか．
(3)初めから$200$番目にある組を求めよ．
(4)初めから$n$番目の組が$(a,\ b)$であるとき，$c_n=ab$とおく．和$c_1+\cdots +c_{200}$を求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$のとき，次の式の値を求めよ．
(i) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{[$1$]}{[$2$]}$
(ii) $\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{[$3$]}{[$4$]}$
(iii) $\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x} \right)^2+\left( \frac{x}{2}-\frac{1}{x} \right)^2=\frac{[$5$]}{[$6$]}$
(2)$|6x-4|<8$の解は$\displaystyle -\frac{[$7$]}{[$8$]}<x<[$9$]$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$のとき，次の式の値を求めよ．
(i) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{[$1$]}{[$2$]}$
(ii) $\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{[$3$]}{[$4$]}$
(iii) $\displaystyle \left( x-\frac{1}{2x} \right)^2+\left( \frac{x}{2}-\frac{1}{x} \right)^2=\frac{[$5$]}{[$6$]}$
(2)$|6x-4|<8$の解は$\displaystyle -\frac{[$7$]}{[$8$]}<x<[$9$]$である．
私立 広島経済大学 2015年 第2問白玉が$2$個，赤玉が$4$個，青玉が$6$個の合計$12$個の入った袋から$3$個の玉を同時に取り出す．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$3$個の玉すべてが同じ色になる確率は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(2)$3$個の玉が$3$種類の色からなる確率は$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(3)赤玉が$2$個，青玉が$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．
(4)少なくとも$1$個は赤玉である確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．
(1)$3$個の玉すべてが同じ色になる確率は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(2)$3$個の玉が$3$種類の色からなる確率は$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(3)赤玉が$2$個，青玉が$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．
(4)少なくとも$1$個は赤玉である確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．
私立 広島経済大学 2015年 第3問関数$y=-ax^2+4ax+b (a>0) \cdots\cdots①$について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$a=1,\ b=8$とする．関数$①$の最大値は$[$18$]$である．また$①$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は$[$19$] \pm [$20$] \sqrt{[$21$]}$である．
(2)$①$のグラフが$x$軸に接するとき$\displaystyle a=-\frac{[$22$]}{[$23$]}b$である．
(3)関数$①$の最大値が$5$でそのグラフが点$(3,\ 2)$を通るとき$a=[$24$]$，$b=-[$25$]$である．
(4)$2 \leqq x \leqq 3$における関数$①$の最大値が$10$，最小値が$8$であるとき$a=[$26$]$，$b=[$27$]$である．
(1)$a=1,\ b=8$とする．関数$①$の最大値は$[$18$]$である．また$①$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は$[$19$] \pm [$20$] \sqrt{[$21$]}$である．
(2)$①$のグラフが$x$軸に接するとき$\displaystyle a=-\frac{[$22$]}{[$23$]}b$である．
(3)関数$①$の最大値が$5$でそのグラフが点$(3,\ 2)$を通るとき$a=[$24$]$，$b=-[$25$]$である．
(4)$2 \leqq x \leqq 3$における関数$①$の最大値が$10$，最小値が$8$であるとき$a=[$26$]$，$b=[$27$]$である．
私立 広島経済大学 2015年 第4問$\mathrm{AB}=5 \sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=6$，$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$を満たす$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{D}$を定める．次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[$28$]$である．
(2)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BD}=[$30$]$である．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$の面積は$[$31$]$である．
(4)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{CAD}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(5)直線$\mathrm{AD}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{E}$とする．
このとき，$\displaystyle \mathrm{EC}=\frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[$28$]$である．
(2)$\mathrm{AC}=\sqrt{[$29$]}$，$\mathrm{BD}=[$30$]$である．
(3)三角形$\mathrm{ADC}$の面積は$[$31$]$である．
(4)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{CAD}=\frac{[$32$]}{[$33$]}$である．
(5)直線$\mathrm{AD}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点（$\mathrm{A}$と異なる点）を$\mathrm{E}$とする．
このとき，$\displaystyle \mathrm{EC}=\frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．
私立 広島経済大学 2015年 第3問$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=1$の長方形$\mathrm{ABCD}$と三角形$\mathrm{APQ}$がある．三角形$\mathrm{APQ}$の頂点$\mathrm{P}$は長方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に，頂点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{CD}$上にあり，$\mathrm{CQ}=4 \mathrm{BP} (\mathrm{BP} \neq 0)$を満たしている．三角形$\mathrm{APQ}$の面積を$S$とおいて，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{1}{4}$のとき，$\displaystyle S=\frac{[$15$]}{[$16$]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{ADQ}$の面積の和は$[$17$]$である．
(3)$\mathrm{BP}=x (0<x \leqq 1)$とおくと$S=[$18$]x^2-[$19$]x+[$20$]$であり，$\displaystyle S=\frac{7}{4}$となるのは$\displaystyle x=\frac{[$21$] \pm \sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$のときである．また$\displaystyle x=\frac{[$24$]}{[$25$]}$のとき$S$は最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[$26$]}{[$27$]}$である．
(1)$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{1}{4}$のとき，$\displaystyle S=\frac{[$15$]}{[$16$]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$と三角形$\mathrm{ADQ}$の面積の和は$[$17$]$である．
(3)$\mathrm{BP}=x (0<x \leqq 1)$とおくと$S=[$18$]x^2-[$19$]x+[$20$]$であり，$\displaystyle S=\frac{7}{4}$となるのは$\displaystyle x=\frac{[$21$] \pm \sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$のときである．また$\displaystyle x=\frac{[$24$]}{[$25$]}$のとき$S$は最小となり，その値は$\displaystyle \frac{[$26$]}{[$27$]}$である．