$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=4 \cos^2 \frac{\theta}{2}-\cos 2\theta+1$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

事象$X$の確率を$P(X)$で表し，$X$の余事象を$\overline{X}$で表す．事象$A,\ B$が
\[ P(A \cap B)=P(A)P(B) \]
をみたすとき，以下の設問に答えよ．

(1)$P(\overline{A} \cap \overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$を示せ．
(2)$\displaystyle P(A \cup B)=\frac{3}{5},\ P(\overline{A} \cup \overline{B})=\frac{13}{15},\ P(A)>P(B)$であるとき，$P(A)$および$P(B)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の極限値を求めると，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}=[ア]$であり，

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3-(2x)^3}{h}=[イ]$である．
(2)$r$の関数$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi (r+2)^2$の導関数を求めると，$\displaystyle \frac{dV}{dr}=[ウ]$である．ただし$\pi$は円周率である．

関数$\displaystyle f(x)=(\log_2 x)^2-\log_2 x^2-1 \left( \frac{1}{4} \leqq x \leqq 8 \right)$がある．

$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$2 \sin^2 x+\sin 2x$は$x=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)$1$から$9$までの数を$1$つずつ書いた$9$枚の札の中から，同時に$3$枚を引く．その$3$枚の札の数の積が，偶数になる確率は$[ウ]$であり，$6$の倍数になる確率は$[エ]$である．

空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(-2,\ 4,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす．この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる．四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ．

箱に色のついた玉を入れておく．箱から玉を$1$個取り出して色を確認し箱に戻す試行に対し，次の問に答えよ．

(1)箱に赤玉と白玉をそれぞれ$1$個以上，合わせて$40$個入れ試行を$2$回行う．このとき，赤玉と白玉を$1$個ずつ取り出す確率が$\displaystyle \frac{21}{50}$となるには，赤玉を何個入れればよいか．ただし，白玉より赤玉を多く入れるものとする．
(2)箱に赤玉，白玉，黒玉をそれぞれ$1$個以上，合わせて$40$個入れるとき，取り出した玉が赤なら$1$点，白なら$0$点，黒なら$-1$点を得るとする．箱に入れた白玉と黒玉がともに$n$個のとき，試行を$2$回行って得点が$0$点になる確率を$P(n)$とする．このとき，$P(n)$を$n$を用いて表せ．また，$P(n)$が$\displaystyle \frac{1}{5} \leqq P(n) \leqq \frac{1}{4}$を満たす$n$をすべて求めよ．

$\sqrt{14}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{b}$の整数部分を$c$，小数部分を$d$とするとき，$c,\ d$の値を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．

(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．

(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．