次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=2 \log_2 (2-x)+\log_2 x$は$\displaystyle x=\frac{[$16$]}{[$17$]}$で最大値
\[ [$18$]-[$19$] \log_2 [$20$] \]
をとる．
(2)$\log_2 5=2.32$，$\log_2 11=3.46$，$m$と$n$を正の整数，$0<a<1$とするとき，
\[ \log_2 113=m \left( m-\frac{1}{2} \right)+n+a \]
と表すことができるような$(m,\ n)$の組合せは，$m$の値の小さいほうから順に，$([$21$],\ [$22$])$と$([$23$],\ [$24$])$である．

$a>0$として，放物線$C:y=4x^2+2$，直線$\ell:y=ax-6$について次の問に答えよ．

(1)$C$が点$(2,\ 18)$で$\ell$と交わるとき，$a=[$25$][$26$]$となり，点$([$27$],\ [$28$])$でも交わる．
(2)$C$と$\ell$が接する場合$a=[$29$] \sqrt{[$30$]}$となり，接点の座標は
\[ (\sqrt{[$31$]},\ [$32$][$33$]) \]
となる．$C$，$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[$34$] \sqrt{[$35$]}}{[$36$]}$である．

$c_y \geqq 0$，$c_z \geqq 0$として，空間に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2 \sqrt{3})$，$\mathrm{C}(0,\ c_y,\ c_z)$，$\mathrm{D}(-2,\ d_y,\ d_z)$を頂点とする正四面体がある．次の問に答えよ．

(1)この正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$[$51$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[$52$]$である．
(2)点$\mathrm{C}$の座標において
\[ c_y=\frac{[$53$] \sqrt{[$54$]}}{[$55$]},\quad c_z=\frac{[$56$] \sqrt{[$57$]}}{[$58$]}, \]
点$\mathrm{D}$の座標において$d_y=[$59$]$，$d_z=[$60$]$である．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．

(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>1)$における接線を$\ell$とおく．$C$と$y$軸の共有点を$\mathrm{A}$，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とおく．原点を$\mathrm{O}$とおき，三角形$\mathrm{AOQ}$の面積を$S(t)$とおく．$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，$y$軸，$C$および$\ell$で囲まれた図形の面積を$T(t)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を求め，$S(t)$を$t$で表せ．
(3)$T(t)$を$t$で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to 1+0}\frac{T(t)}{S(t)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．

$n$を正の偶数とする．次の条件をみたす整数解$(x,\ y)$の個数を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
y \leqq \displaystyle -\frac{1}{2}x+n \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}-1} \]
で定める．

(1)$y=\log (e^x+e^{-x}-1)$を微分せよ．
(2)$f(x) \geqq e^x-1$となるような$x$の値の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=e^x-1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)循環小数の差$3. \dot{7} 4 \dot{5}-3. \dot{4}4 \dot{9}$を分数で表すと$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right)^2$の小数部分は$x^2+[エオ]x+[カキク]=0$の解である．
(3)$\displaystyle \log_9 \frac{45}{7}+\log_3 \sqrt{10.5}+\log_9 3.6$を簡単にすると$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．
(4)${16}^x-3 \cdot 2^{2x+1}-16=0$を満たす$x$の値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．

$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{3} \left( 0<\theta<\frac{3}{4} \pi \right)$であるとする．

(1)$\sin \theta \cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．

(2)$\displaystyle \sin^3 \theta-\cos^3 \theta=\frac{[ウエ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コサ]}$である．

(3)$\displaystyle \tan \theta=\frac{[シ]+\sqrt{[スセ]}}{[ソ]}$である．