$4$つの実数
\[ \log_3 5,\quad \log_5 3,\quad \sin {350}^\circ,\quad \sqrt{\frac{3}{5}} \]
を小さいものから順に並べよ．ただし，必要ならば，$\log_{10}2=0.30$，$\log_{10}3=0.48$としてよい．

$0^\circ \leqq \theta \leqq {45}^\circ$で$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{2}{5}$のとき，次の式の値をそれぞれ求めなさい．

(1)${(\sin \theta+\cos \theta)}^2$
(2)$\sin \theta+\cos \theta$
(3)${(\sin \theta-\cos \theta)}^2$
(4)$\sin \theta-\cos \theta$
(5)$\sin \theta$

次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2} (x>0)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}=0$を用いてよい．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面において，$2$つの曲線$y=ax^2$と$y=\log x$の共有点の個数を調べよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．

$\alpha$は$0<\alpha<\pi$を満たす実数，$n,\ k$は正整数として，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を$\displaystyle \cos \frac{(2k-1) \alpha}{2n}$と$\displaystyle \cos \frac{(2k+1) \alpha}{2n}$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \alpha}{n}$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\alpha}{2n}$を求めよ．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin \frac{k \alpha}{n}$を求めよ．

平面上に異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，それらは一直線上にないとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．線分$\mathrm{OA}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}$である．

(2)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[オ]}{[カキ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}$である．

(3)点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$を$[サ]:[シ]$に内分する．

座標平面において，極方程式$r=2 \cos \theta$で表される曲線を$C$とし，$C$上において極座標が$\displaystyle \left(\sqrt{2},\ \frac{\pi}{4} \right)$，$(2,\ 0)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\mathrm{A}$を中心とし，線分$\mathrm{AB}$を半径にもつ円を$D$とする．

(1)曲線$C$は直交座標において点$([ア],\ [イ])$を中心とし，半径が$[ウ]$の円を表す．
(2)直線$\ell$の極方程式は$\displaystyle r \cos \left( \theta-\displaystyle\frac{\pi}{[エ]} \right)=\sqrt{[オ]}$である．
(3)円$D$の極方程式は$\displaystyle r=[カ] \sqrt{[キ]} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{[ク]} \right)$である．

次の条件によって定められる関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\[ f_1(x)=(3x+5)e^{2x},\quad f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$f_2(x)=([ア]x+[イウ])e^{2x}$である．
(2)$f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}$（$a_n,\ b_n$は定数）とおくと，
\[ a_1=[エ],\quad b_1=[オ],\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=[カ]a_n \\
b_{n+1}=a_n+[キ]b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(3)$a_n=[ク] \cdot {[ケ]}^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{2^n}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}=c_n+\frac{[コ]}{[サ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．よって，$\displaystyle c_n=\frac{[シ]n+[ス]}{[セ]}$，つまり$b_n={[ソ]}^{n-2}([タ]n+[チ]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．ゆえに
\[ f_n(x)={[ツ]}^{n-2}([テ]x+[ト]n+[ナ])e^{2x} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から次の規則に従って動くとする．表，裏がでる確率が等しい硬貨を$2$枚投げて，表が$2$枚でたら右に$1$移動し，裏が$2$枚でたら上に$1$移動し，表$1$枚裏$1$枚でたら右に$1$移動し，さらに上に$1$移動する．以下，この試行を繰り返す．従って，最初表$1$枚裏$1$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(1,\ 1)$で，次に表$2$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(2,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この試行を$3$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)この試行を$5$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[クケコ]}$である．また，そのうち点$\mathrm{P}$が点$(1,\ 1)$を通って座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である．
(4)この試行を$7$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 3)$を通るか，$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{\fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[15mm][c]{\small{ツテトナ}}}}$である．