次のように定義される数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．ただし，$x^2-x-1=0$の解が$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}$という事実を利用せよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{AC}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(2)$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R_1$，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径を$R_2$とすると，$\displaystyle \frac{R_2}{R_1}=\frac{\sqrt{[ナ]}}{[ニ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta=0$を満たす$\theta$の値は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ア]}$，$\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$\sin^2 \theta-3 \cos^2 \theta \geqq 0$を満たす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{\pi}{[エ]} \leqq \theta \leqq \frac{[オ]}{[カ]} \pi$，$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．

関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える．

(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$について，等式
\[ \sin x-\sqrt{3} \cos x=[ス] \sin \left( x-\frac{\pi}{[セ]} \right) \]
が成り立つ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$を満たす実数$x$について，無限等比級数
\[ 1+(\sin x-\sqrt{3} \cos x)+{(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}^2+{(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}^3+\cdots \]
は$\displaystyle \frac{\pi}{[ソ]}<x<\frac{\pi}{[タ]},\ \frac{[チ]}{[ツ]} \pi<x<\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で収束し，その和は
\[ \frac{1}{1-[ナ] \sin \left( x-\displaystyle\frac{\pi}{[ニ]} \right)} \]
である．

半径が$1$の球に内接する直円柱を考え，この直円柱の底面の半径を$x$とし，体積を$V$とする．

(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である．

(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である．

(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり，その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である．

実数$k$は$0<k<2$をみたし，$xy$平面上の曲線$C$を$y=-x^2+4 (x \geqq 0)$，直線$\ell$を$y=4-k^2$とする．次の各問に答えよ．

(1)$y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれる部分の面積を$S_1$とすると，$\displaystyle S_1=\frac{[ア]}{[イ]}k^{\mkakko{ウ}}$となる．
(2)直線$x=2$，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，
\[ S_2=\frac{[エ]}{[オ]}k^{\mkakko{カ}}-[キ]k^{\mkakko{ク}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
となる．
(3)$2$つの面積の和$S=S_1+S_2$を考える．$S$の最小値は$[サ]$である．このとき$k=[シ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} \, dx=\frac{\pi}{[ア]}$である．
(2)$\displaystyle \frac{x^2+3x+7}{(x+2)(x^2+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$（$A,\ B,\ C$は定数）とおくと，$A=[イ]$，$B=[ウ]$，$C=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2+3x+7}{x^3+2x^2+x+2} \, dx=\frac{[オ]}{4} \pi+\log \frac{3}{[カ]}$である．ただし，対数は自然対数とする．

座標平面上に点$\mathrm{A}(a^3,\ b^3)$がある．ただし，$a>0$，$b>0$とする．点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$が$x$軸，$y$軸の正の部分と交わり，それぞれの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\ell$が$x$軸となす鋭角を$\theta$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$f(\theta)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$を$a,\ b,\ \sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$f(\theta)$が最小となる$\theta$の値を$\alpha$とおく．$\tan \alpha$と$f(\alpha)$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．

$k$は定数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と直線$x+\sqrt{3}=ky$の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$とする．また楕円の$2$つの焦点を$\mathrm{F}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime (-\sqrt{3},\ 0)$とする．

(1)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の面積を$k$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の内接円の半径を最大にする$k$の値を求めよ．