関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1+x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} f(x) \, dx$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ．ただし，分母は有理化して答えよ．
(2)初項から第$3$項までの和が$-63$，初項から第$6$項までの和が$-4095$である等比数列の初項と公比を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$回ずつ使って$5$桁の数を作る．このとき，$31402$は小さい方から数えて何番目の数か．
(4)次の方程式を解け．
\[ 2 \log_2 x=\log_2 (x+4)+1 \]
(5)直線$y=3x+a$は曲線$y=x^3$に点$\mathrm{A}$で接する．ただし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線と曲線の接点以外の共有点を$\mathrm{B}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(6)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 |x-1| \, dx$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\log (1+\sqrt{2+x})-\frac{1}{2} \sqrt{2+x}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$t=\sin x$とおくとき，$\displaystyle y=\sin x \cos \left( \frac{\pi}{6}-x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6}+x \right)$を$t$の式で表すと$y=[　]$であり，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$における$y$の最小値は$[　]$である．
(2)一般項$a_n=2nr^{n-1} (n=1,\ 2,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めると，$r=1$のとき$[　]$であり，$r=2$のとき$[　]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2 \sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$において接線と直交する直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とする．すべての実数$x$に対して${(ax+1)}^2 \geqq x+1$となる$a$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \int_{-\sin^2 \theta}^{\cos^2 \theta} |x| \, dx=\frac{3}{8}$を満たす$\theta$を求めよ．

$0<\theta<1$とする．三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\frac{1}{\theta}$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．また，辺$\mathrm{AB}$を$(1-\theta):\theta$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S$とする．$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} \mathrm{CD}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2+ax+b$と$x$軸との交点の座標は$(\sin \theta,\ 0)$，$(\sqrt{3} \cos \theta,\ 0)$である．この放物線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とし，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)$a,\ b$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$a=0$のとき，$S$の値を求めよ．
(3)$S$の最大値を求めよ．