$1$から$9$の整数が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから$1$枚ずつ$2$回カードを取り出す．最初に取り出したカードを元に戻してから次のカードを取り出す場合を「戻す場合」といい，最初のカードを戻さずに次のカードを取り出す場合を「戻さない場合」ということにする．最初に取り出したカードに書かれている数を$a$とし，次に取り出したカードに書かれている数を$b$とする．

(1)戻す場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，戻さない場合，$8 \leqq a+b \leqq 12$となる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(2)戻す場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．
(3)戻す場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$であり，戻さない場合，$60 \leqq ab+a+b \leqq 70$となる確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．

定数$a$に対し，
\[ f(x)=a \sin 2x-\tan x \quad \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする．実数$\theta$を，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)不定積分
\[ \int f(x) \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする．このとき，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \]
を$a$の$1$次式で表せ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

次の問いに答えなさい．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい．
(2)座標空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して，直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる．

(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(ii) $t$を変化させるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい．

各自然数$n$に対し，$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．

(1)$X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2)$X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3)$V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4)$X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\mathrm{AB}=6$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の外心を$\mathrm{H}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．

関数
\[ f(x)=\tan^2 x+8 \cos 2x \quad \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right) \]
は，$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]} \pi$のとき，最小値$[シ]$をとる．

点$\mathrm{P}$が放物線$y=2x^2-x$上を動くとき，点$\mathrm{P}$における放物線$y=2x^2-x$の接線と放物線$y=-x^2+1$とで囲まれる部分の面積の最小値は
\[ \frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{54} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$x+y+z+w=18$，$x \geqq 8$，$y \geqq 4$，$z \geqq 2$，$w \geqq 0$を満たす整数$x,\ y,\ z,\ w$の組$(x,\ y,\ z,\ w)$の個数は$[ア]$個である．
(2)$4$個の白球と$6$個の赤球を無作為に並べて，輪をつくる．このとき，白球が隣り合わない確率は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$であり，$4$個の白球がすべて隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{5} \sin x+1$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ]} \leqq f(x) \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{3} \sin x-\frac{1}{4} \cos x+1$を考える．$g(x)$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ][キ]} \leqq g(x) \leqq \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．
また，$g(\alpha)=1$となる実数$\alpha$をとると
\[ \tan \alpha=\frac{[シ]}{[ス]} \]
となる．
(3)関数$\displaystyle h(x)=\sin^2 x+\frac{1}{2} \sin x \cos x-\frac{1}{3} \cos^2 x+1$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[セ][ソ]-\sqrt{[タ][チ]}}{[ツ][テ]} \leqq h(x) \leqq \frac{[ト][ナ]+\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．