関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$について考える．

(1)$\displaystyle f \left( \log_{\frac{1}{2}} 5 \right)=\frac{[ア][イ]}{[ウ]}$
(2)$\displaystyle f(a)=\frac{4}{3}$をみたす$a$に対して，$2^a=[エ]$
(3)$\displaystyle f(b)=\frac{15}{8}$をみたす$b$に対して，$\displaystyle f(b+\log_2 3)=\frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$

次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を実数として，$\sin \alpha$が$8{(\sin \alpha)}^3-6 \sin \alpha-1=0$をみたすとき，
\[ \sin (3 \alpha)=-\frac{[ア]}{[イ]} \]
となる．
(2)$3$次方程式$8x^3-6x-1=0$の異なる$3$つの解は
\[ \sin \left( \frac{[ウ]}{[エ][オ]}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}\pi \right),\quad \sin \left( \frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]}\pi \right) \]
である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ][オ]}<\frac{[カ][キ]}{[エ][オ]}<\frac{[ク][ケ]}{[エ][オ]} \leqq \frac{5}{3}$とする．

$p$を正の定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-5x^p \log x \quad (x>0) \]
と定める．$a$は$f^\prime(a)=0$を満たす正の実数とする．ここで，$\log x$は自然対数であり，$e$は自然対数の底を表す．また，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)$a$の値を$p$を用いて表せ．
(2)不定積分$\int f(x) \, dx$を求め$p$を用いて表せ．
(3)直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a \leqq x \leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，
\[ \lim_{p \to +0}S \]
の値を求めよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{u \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}=0$であることを用いてよい．

以下の問いに答えよ．（$n$は自然数とする．）

(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．

(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする．

(1)$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき，$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき，
\[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]} \sqrt{[テ]},\quad \mathrm{AP}=[ト]+\sqrt{[ナ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad \mathrm{AP}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
である．ただし，
\[ \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}<[ト]+\sqrt{[ナ]}<\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
とする．
(3)座標空間に，$\mathrm{OC}=2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，

$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

$1$個のさいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$m$，$2$回目に出た目を$n$とする．ここで，さいころの$1$から$6$までのそれぞれの目が出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$である．

さいころの出た目にもとづいて，座標平面に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \cos \frac{n\pi}{m},\ \sin \frac{n\pi}{m} \right)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$をとり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．ただし，点$\mathrm{B}$が点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{C}$と一致する場合は$S=0$とする．

(1)$S$がとりうる値は，$0$を含めて全部で$[マ]$通りある．
(2)$S$がとりうる値のうち，小さい方から$k$番目の値を$s_k$とする．

このとき，$s_1=0$，$\displaystyle s_2=\frac{[ミ]+\sqrt{[ム]}}{[メ]}$，$\displaystyle s_4=\frac{\sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．また，$S=s_2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$，$S=s_4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ラ]}{[リ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=|\abs{x^2-3|-1} (x \geqq 0)$を考える．

(i) $f(x)=0$となるのは$x=\sqrt{[ア]}$または$x=[イ]$のときである．ただし，$\sqrt{[ア]}<[イ]$とする．
(ii) 関数$f(x)$は区間$\sqrt{[ア]} \leqq x \leqq [イ]$において，$x=\sqrt{[ウ]}$で極大値$[エ]$をとる．
(iii) $\displaystyle \int_0^2 \frac{3}{8}f(x) \, dx=[オ]+\sqrt{[カ]}+\frac{[キ]}{[ク]} \sqrt{[ケ]}$である．

(2)関数$g(x)$を
\[ g(x)=2^{3x+2}-3(1+\sqrt{2}) \cdot 4^x+3 \cdot 2^{x+\frac{1}{2}} \]
で定める．$g(x)$は，
$x=[コ]$で極大値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}$，

$\displaystyle x=\frac{[タ]}{[チ]}$で極小値$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}+\frac{[ト]}{[ナ]} \sqrt{[ニ]}$

をとる．

$N$を$2$以上の整数とする．整数$a,\ b$に対し，演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める．例えば，$N=2$のとき，
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である．

(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(i) $N=4$のとき，$a_3=[ヌ]$である．

(ii) $N \geqq 4$とする．

$N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$，

$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である．


(iii) $N$が偶数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$，

$N$が奇数のとき，$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である．


(2)$N$を偶数とし，$N=2M$と表す．ただし，$M$は自然数である．次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える．
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$b_M=0$となる必要十分条件は，$N$が$[ミ]$の倍数となることである．

$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき，$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である．

$a$を実数とするとき，座標平面において，円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える．

(1)どのような$a$の値に対しても，$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( [モ],\ [ヤ] \right)$，$\mathrm{Q} \left( [ユ],\ [ヨ] \right)$を必ず通る．ただし，$[モ]<[ユ]$とする．

(2)$C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ラ]}{[リ]}a,\ \frac{[ル]}{[レ]}a \right)$であり，$C_a$の半径を$r$とすると，$\displaystyle r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])$である．

(3)$C_a$の半径$r$が最小となるのは，$a=[あ]$のときである．
(4)$C$の周および内部の領域を$D$，$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする．$a=[あ]$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$[い]\pi+[う]$である．
(5)$x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ．$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す．

(i) $a=-4$のとき，$n(a)=[え]$である．
(ii) $n(a)$が最小値$[お]$をとるための必要十分条件は，$a<[か]$である．
(iii) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は，$[き] \leqq a<[く]$である．

平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．


(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．