四角形$\mathrm{ABCD}$は，円に内接する．各辺は，それぞれ，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$であるとする．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle \frac{S}{\sqrt{30}}$の値を求めよ．

$2$つの点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 2)$と$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$について考える．線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{PB}$の長さの和の最小値を$m$としたとき，$\displaystyle \frac{m}{\sqrt{5}}$の値を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$と直線$L:x-2y+10=0$について考える．楕円$C$上の点$\mathrm{P}$から直線$L$に下ろした垂線と直線$L$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の最大値を$M$，最小値を$m$とするとき，$\displaystyle \frac{M}{m}$の値を求めよ．

第$10$項が$29$，第$15$項が$19$である等差数列について考える．初項からの和の最大値を$M$としたとき，$\displaystyle \frac{M}{72}$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+4$を満たしている．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n}$の値を求めよ．

$x-6,\ x,\ y$がこの順で等比数列であり，$x-9,\ x,\ y-x$がこの順で等差数列であるとする（$x>6$，$y>0$，$x,\ y$は実数）．$\displaystyle \frac{3y}{x}$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$\sqrt{15}$である正四面体$\mathrm{OABC}$について考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=m$としたとき，$\displaystyle \frac{64m^2}{185}$の値を求めよ．

$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3 \sqrt{5}$であるとする．$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は（$t$は実数），$t=c$のとき，最小値$m$をとる．$\displaystyle \frac{mc}{3}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$について考える．点$\mathrm{P}$は，$6 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たすものとする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PBC}$の面積を$S_2$としたとき，$\displaystyle \frac{11S_2}{S_1}$の値を求めよ．

$x+y+z=n$（$x,\ y,\ z,\ n$は$0$以上の整数）を満たす$(x,\ y,\ z)$の組の数を$f(n)$で与えることとする．$f(n)>185$となるような最小の$n$を$a$とするとき，$\displaystyle \frac{a}{2}$の値を求めよ．