以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

数直線上の点の集合$S=\{-1,\ 0,\ 1\}$を考える．球が$2$個用意されており，$S$の各点上には，$2$個まで球を置くことができるとする．$S$内に置かれた球に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{T}$}

\mon[$(\mathrm{T}1)$] $S$内に球が$1$個だけ置かれている場合は， その球に対して次の操作$\mathrm{A}$を行う．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{A}$}

\mon[$(\mathrm{A}1)$] 球が点$0$上に置かれている場合はその球を確率$\displaystyle\frac{1}{3}$で$S$内から取り除き，確率$\displaystyle\frac{1}{3}$ずつで点$-1$または点$1$の上に移す．
\mon[$(\mathrm{A}2)$] 球が点$-1$または点$1$の上に置かれている場合はその球を必ず点$0$の上に移す．

\end{screen}
\mon[$(\mathrm{T}2)$] $S$内に球が$2$個置かれている場合は，どちらか$1$個の球を等しい確率で選び，その選ばれた球に対して操作$\mathrm{A}$を行う．

\end{screen}
いま，球が$2$個とも点$0$上に置かれている状態から始め，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．ただし，$S$内に球がなくなった場合は操作を行うのをやめる．以下，$n,\ m$を自然数とする．

(1)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，球が$2$個とも点$0$上に置かれている確率を$p_n$とし，点$-1$と点$0$の上に$1$個ずつ置かれているかまたは点$0$と点$1$の上に$1$個ずつ置かれている確率を$q_n$とする．

\mon[$(1$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，$p_n=[あ]q_{n-1}$である．
\mon[$(1$-$2)$] $q_1=[い]$である．一般に$q_{2m}=0$であり，$q_{2m-1}$を$m$の式で表すと$q_{2m-1}=[う]$である．

(2)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，$S$内に球が$1$個だけあり，かつそれが点$0$上に置かれている確率を$r_n$，点$-1$または点$1$の上に置かれている確率を$s_n$とする．

\mon[$(2$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，
\[ \begin{array}{l}
r_n=[え]s_{n-1}+[お]p_{n-1} \\
s_n=[か]r_{n-1}+[き]q_{n-1}
\end{array} \]
である．
\mon[$(2$-$2)$] 一般に$r_{2m}=0$であり，$r_{2m-1}$を$m$の式で表すと$r_{2m-1}=[く]$である．

次の問いに答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．

(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．

(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．

(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，

(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．

(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，

(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．

$a$は$2^{2 \log_4 48-\log_2 \frac{3}{4}}$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．このとき，

(1)$a$の値を整数で表すと$[$53$][$54$]$である．
(2)$a^{30}$は$[$55$][$56$]$桁の数である．
(3)$b$は，$b^{50}$を小数で表すと小数第$25$位に初めて$0$でない数字が現れる正の数である．このとき$\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^4$を小数で表すと，小数第$[$57$][$58$]$位に初めて$0$でない数字が現れる．

関数$\displaystyle f(x)=9^x+9^{-x}-\frac{20}{9}(3^{1-x}+3^{1+x})$（$x$は正の実数）は，$x=a$のとき最小値をとる．$a$の値を求めよ．

$x=2+\sqrt{3}$，$y=2-\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right)$の値を求めよ．

$xy$平面上に放物線$\displaystyle P:y=\frac{1}{4}x^2$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(a^2-1)$がある．ただし，$a$は$0<a<\sqrt{33}$を満たす実数である．$P$と$\ell$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_A$，$x_B$とおくと，$x_A<x_B$である．

次に，線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし，線分$\mathrm{CD}$が$(0,\ 8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく．長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする．このとき，

(1)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは$\displaystyle \frac{[$40$]}{[$41$]}$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{[$42$]}a$である．
(2)$S(a)$を$a$の式で表すと
\[ S(a)=\frac{[$43$][$44$]}{[$45$]}a^3+\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}a \]
である．
また，$S(a)$が最大値をとるとき，$a$の値は$\sqrt{[$49$][$50$]}$である．
(3)放物線$P$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積が，$S(a)$の$3$倍であるとき，$a$の値は$[$51$] \sqrt{[$52$]}$である．

ボタンを$1$回押すたびに$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある．このうちの$1$つの数字$Q$が表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{k}$であり，$Q$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする．ただし，$k$は$k>6$を満たす自然数とする．

ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき，$1$回目に$4$の数字，$2$回目に$5$の数字が表示される確率は，$1$回目に$5$の数字，$2$回目に$6$の数字が表示される確率の$\displaystyle \frac{8}{5}$倍である．このとき，

(1)$Q$は$[$59$]$であり，$k$は$[$60$]$である．
(2)この試行を$3$回繰り返すとき，表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は
\[ \frac{[$61$][$62$][$63$]}{\kakkofour{$64$}{$65$}{$66$}{$67$}} \]
である．
(3)この試行を$500$回繰り返すとき，そのうち$Q$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと，$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$[$68$][$69$]$である．

ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している．提供された$\mathrm{X}$の量を$x$，$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす．技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである．
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり，その$5$頂点は$(0,\ 0)$，$(200,\ 0)$，$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$，$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である．

現在，一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる．村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった．
仮に，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる．
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした．しかし，予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった．すると，$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される．

$a,\ b$は整数とする（$ab \neq 0$）．$\displaystyle \frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1$を満たす$(a,\ b)$は，何組あるか．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2$，$\displaystyle C_2:y=x^2-ax+a+\frac{a^3}{2}$（$a$は正の実数）について考える．直線$L$は$C_1$，$C_2$にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で接する．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p+q-a^2$の値を求めよ．