等式
\[ \begin{array}{lrr}
c=\sin 2\theta-2 \cos \theta & &\cdots\cdots① \\
\log_y(x-3)+\log_y(x+1)-1=0 \quad (y>0,\ y \neq 1) & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
について，次の各問に解答しなさい．

(1)$①$式について，$\sin \theta+\cos \theta=1$とする．

(i) $\sin \theta$と$\cos \theta$のとりうる値を求めなさい．
(ii) $c$のとりうる値を求めなさい．
(iii) 1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出れば$\sin \theta=0$，3以上の目が出れば$\sin \theta=1$とする．$c$の確率分布を求め，さらに，$c$の平均と分散を求めなさい．

(2)$①$式について，$\displaystyle c=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin \theta=\frac{1}{2}$とする．

(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq 10\pi$のとき，$\theta$がとりうるすべての値の合計を求めなさい．

(3)$②$式について，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$と表す．

(i) 関数$f(x)$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(ii) $y=a$とするとき，$x$の値を$a$で表しなさい．ただし，$a$は$a>0,\ a \neq 1$を満たす定数である．

大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を考える．この試行で，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．$T=2X-Y$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)確率$P(T=6)$，$P(T \geqq 0)$を求めよ．
(2)分散$V(X)$，平均$E(T)$を求めよ．
(3)$V(aT)=25$となる定数$a$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり，その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする．このとき，定数$k$，平均$E(X)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
(2)$Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする．また，任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して，関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

\mon[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ．ただし，$a$と$b$は定数で$a<b$とする．
\mon[(b)] 母平均$50$，母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき，標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ．
\mon[(c)] $0<p<1$とし，$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする．母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ，標本平均が$45$であった．母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ．

袋の中に1の数字が書かれている球が5個，2の数字が書かれている球が3個，5の数字が書かれている球が2個の合計10個の球が入っている．1個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．$i$回目に取り出した球に書かれている数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．